分治法最近点对

分治法

分治法将一个难以直接解决的大问题划分成一些规模较小的子问题，分别求解各个子问题，再合并子问题的解得到原问题的解。

一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：

划分：把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题。
求解子问题：各个子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归也可以用循环来实现。
合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大的差异，分治算法的效率很大程度上依赖于合并的实现。

最近点对问题

问题描述

设p₁=(x₁,y₁)，p₂=(x₂,y₂)，···，p_n=(x_n,y_n)是平面上n个点构成的集合S，最近点对问题就是找出集合S中距离最近的点对。严格地说，最接近的点对可能多于一个，简单起见，找出一个即可。

应用实例

假设在一个金属片上钻n个大小一样的洞，如果洞的距离太近，金属就可能会断裂。可以通过任意两个洞的最小距离来估算金属断裂的概率。这种最小距离问题实际上也就是最近点对问题。

想法

最近点对的分治策略如下：

（1）划分：将集合S分成两个子集S₁和S₂根据平衡子问题原则，每个子集中大约有n/2个点，设集合S的最近对是p_i和p_j，则会出现以下三种情况：

p_i∈S₁，p_j∈S₁，即最近对均在集合S₁中；
p_i∈S₂，p_j∈S₂，即最近对均在集合S₂中；
p_i∈S₁，p_j∈S₂，即最近对分别在集合S₁和S₂中。

（2）求解子问题：对于划分阶段的情况1和情况2可递归求解，如果最近对分别在两个子集中，在后边做讨论。

（3）合并：比较在划分阶段三种情况下的最近点对，取三者之中距离较小者为原问题的解。

下面讨论划分阶段的情况3：

为了将平面上的点集S分割为点的个数大致相同的两个集合，选取垂直线x=m来作分割线，其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S₁和S₂。递归地在S₁和S₂中求解最近对问题，分别得到S₁中的最近距离d₁和S₂中的最近距离d₂，令d=min(d₁，d₂。若S的最近对(p,q)之间的距离小于d，则p和q必定分属于集合S₁和S₂。那么，不妨设p∈S₁，q∈S₂，则p和q距离直线x=m的距离均小于d，所以，可以将求解限制在以x=m为中心，宽为2d的垂直带P1和P2中，垂直带之外的任何点对之间的距离都一定大于d。

假设点p(x,y)是集合P₁和P₂中y坐标最小的点，则点p可能在P₁中也可能在P₂中，现在需要找出来和点p之间小于d的点，显然这样的点的y坐标一定位于区间[y,y+d]之间，而且这样的点不会超过8个，因为P1和P2中点的相互之间的距离至少为d，如下图所示。

所以，可以将P₁和P₂中的点按照y坐标升序排列，顺序地处理P₁和P₂中的点p(x,y)，在y坐标区间[y,y+d]内最多取出8个候选点，计算它们和点p之间的距离。

算法

简单起见，假设点集S已按照x坐标升序排列，伪代码描述如下：

输入：按x坐标升序排列的n个点的集合S
输出：最近点对的距离

如果n等于2，则返回(x₁,y₁)和(x₂,y₂)之间的距离，算法结束；
划分：m=S中各点x坐标的中位数；
d₁=计算{(x₁,y₁)，···，(x_m,y_m)}的最近对距离；
d₂=计算{(x_m,y_m)，···，(x_n,y_n)}的最近对距离；
d=min{d₁,d₂}；
依次考察集合S中的点p(x,y)，如果x<=x_m并且x>=x_m-d，则将点p放入集合P₁中；如果x>x_m并且x<=x_m+d，则将点p放入集合P₂中；
将集合P₁和P₂按y坐标升序排列；
对集合P₁和P₂中的每个点p(x,y)，在y坐标区间[y,y+d]内最多取出8个候选点，计算与点p的最近距离d₃；
返回min{d，d₃}；

源代码

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>using namespace std;int M[2], N[2], P[2], Q[2];typedef struct point
{double x,y;
}point;void Qsortx(point *A, int low, int high){double tempx, tempy;int i = low, j = high;if(low < high){tempx = A[i].x;tempy = A[i].y;while(i != j){while(j > i && A[j].x > tempx)j--;if(i < j){A[i].x = A[j].x;A[i].y = A[j].y;i++;}while(i < j && A[i].x < tempx)i++;if(i<j){A[j].x = A[i].x;A[j].y = A[i].y;j--;}A[i].x = tempx;A[i].y = tempy;Qsortx(A,low,i-1);Qsortx(A,i+1,high);}}}
void Qsorty(point *A, int low, int high){double tempx, tempy;int i = low, j = high;if(low < high){tempx = A[i].x;tempy = A[i].y;while(i != j){while(j > i && A[j].y > tempy)j--;if(i<j){A[i].x = A[j].x;A[i].y = A[j].y;i++;}while(i < j && A[i].y < tempy)i++;if(i < j){A[j].x = A[i].x;A[j].y = A[i].y;j--;}A[i].x = tempx;A[i].y = tempy;Qsorty(A,low,i-1);Qsorty(A,i+1,high);}}}double d(point p1, point p2){double dx, dy, dm;dx = p1.x - p2.x;dy = p1.y - p2.y;dm = pow(dx,2) + pow(dy,2);return sqrt(dm);}void printarry(point *points, int n){for(int i=0; i < n; i++){cout<<"("<<points[i].x<<","<<points[i].y<<")";}cout<<endl;cout<<endl;}double cp(point *S,point *Y,int low,int high){int e, r, mid, k = 0, n=high-low+1;double x0, min, minl, minr, minlr;point T[n];mid = (low + high) / 2;x0 = S[mid].x;if(n == 2){return d(S[low], S[high]);M[0] = low;M[1] = high;}if(n == 3){double d1, d2, d3;d1 = d(S[low], S[low+1]);d2 = d(S[low], S[low+2]);d3 = d(S[low+1], S[low+2]);if(d1<=d2){min = d1;M[0] = low;M[1] = low+1;}else{min = d2;M[0] = low;M[1] = low+2;}if(min > d3){min = d3;M[0] = low + 1;M[1] = low + 2;}}else{minl = cp(S, Y, low, mid);N[0] = M[0];N[1] = M[1];minr = cp(S, Y, mid+1, high);P[0] = M[0];P[1] = M[1];if(minl <= minr){min = minl;Q[0] = N[0];Q[1] = N[1];}else{min = minr;Q[0] = P[0];Q[1] = P[1];}for(int i = 0; i < n; i++){if(fabs(Y[i].x-x0) <= min){T[k].x = Y[i].x;T[k].y = Y[i].y;k++;}}minlr = 2*min;for(int i=0;i<k;i++){int jj;if((i+7) < k)jj=i+7;else jj = k;for(int j = i+1; j < jj; j++){double dd = d(T[i], T[j]);if(dd<minlr){minlr = dd;e = i;r = j;}}}if(minlr < min){min = minlr;for(int i = 0; i < n; i++){if(T[e].x == S[i].x && T[e].y == S[i].y)Q[0] = i;}for(int j = 0; j < n; j++){if(T[r].x == S[j].x && T[r].y == S[j].y)Q[1] = j;}}}return min;}int main(){int n;int f = 1;double mini;cout<<"请输入点的个数:"<<endl;while(f){cin>>n;if(n <= 3)cout<<"非法输入！请重新输入："<<endl;else{f = 0;break;}}point S[n], Y[n];cout<<"请输入这"<<n<<"个点的坐标:"<<endl;for(int i = 0; i < n; i++){cin>>S[i].x>>S[i].y;}Qsortx(S, 0, n-1);for(int i = 0; i < n; i++){Y[i].x = S[i].x;Y[i].y = S[i].y;}Qsorty(Y, 0, n-1);printarry(S, n);printarry(Y, n);mini = cp(S, Y, 0, n-1);cout<<"最近的兩個點是："<<endl;cout<<"("<<S[Q[0]].x<<","<<S[Q[0]].y<<")"<<"<----->"<<"("<<S[Q[1]].x<<","<<S[Q[1]].y<<")"<<endl;cout<<endl;cout<<"最近点对的距离为:"<<mini<<endl;system("pause");return 0;}

算法分析

应用分治算法求解含有n个点的最近对问题，由于划分阶段的情况1和情况2可递归求解，情况3的时间代价是O(n)，合并子问题解的时间代价是O(1)，则算法的时间复杂度可由下边的递推式表示：

可得T(n)=O(nlogn)。

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