一、问题概述

在一个 2k×2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格，且称该棋盘为特殊棋盘（Defective Chessboard）
特殊方格在棋盘中出现的位置有 4k种情形，就有4k种不同的棋盘。
图中的特殊棋盘是当 k＝2时16个特殊棋盘中一个。在棋盘覆盖问题中，要求用图所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重叠覆盖。在任何一个个 2k×2k的棋盘覆盖中，用到的L型骨牌个数为（4k-1)/3。

二、适用方法

用分治策略，可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷算法。分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。
（1）当k>0时，将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1子棋盘。
（2）原棋盘只有一个特殊方格，则其余3个子棋盘中没有特殊方格。
（3）用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处。从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题，以便采用递归方法求解。
（4）递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

三、代码展示

static int tile = 1;
static int board[8][8];
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){if (size == 1) return;int  t = tile++;int  s = size/2;// 覆盖左上角子棋盘if (dr<tr+s && dc<tc+s) {// 特殊方格在此棋盘ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);} else {// 此棋盘中无特殊方格，用t号L型骨牌覆盖右下角board[tr+s-1][tc+s-1] = t;// 覆盖其余方格ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}// 覆盖右上角子棋盘if (dr<tr+s && dc>=tc+s) {//        特殊方格在此棋盘ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);} else {// 此棋盘中无特殊方格，用t号L型骨牌覆盖右上角board[tr+s-1][tc+s] = t;// 覆盖其余方格ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}// 覆盖左下角子棋盘if (dr>=tr+s && dc<tc+s) {//  特殊方格在此棋盘ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);} else {//  此棋盘中无特殊方格，用t号L型骨牌覆盖左下角board[tr+s][tc+s-1] = t;//  覆盖其余方格ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);}// 覆盖右下角子棋盘if (dr>=tr+s && dc>=tc+s) {//  特殊方格在此棋盘ChessBoard(tr+s,tc + s,dr,dc,s);} else {// 此棋盘中无特殊方格，用t号L型骨牌覆盖右下角board[tr+s][tc+s] = t;// 覆盖其余方格ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}
}int main() {ChessBoard(0,0,1,1,8);for(int i = 0;i< 8;i++) {for (int j = 0; j<8;j++) {cout<<board[i][j] << "\t";}cout << endl;}return 0;
}

四、运行结果

上图里面的细线是后面在截图上添加进去的，画这个线的为了表述清楚棋盘分治，其中0代表特殊点，其他每个数字代表一种L型骨牌。

五、算法分析

上图展示分治法解决棋盘问题需要的时间复杂度，算法的空间复杂度是：o(1)
个人理解与总结：棋盘覆盖问题是一个经典分治法问题，这里面分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分的棋盘大小相同，且每个子棋盘包含一个特殊方格，从而将一个大的棋盘覆盖问题划分为四个较小的棋盘覆盖问题，这样可以分别得到较小的棋盘覆盖的结果，将较小的子棋盘又划分为四个更小的子棋盘，按照这种方法递归下去一直到只有最后一个2x2的棋盘，为什么是2x2呢，因为最后要保证有一个特殊方格然后加上其他三个方格要被L型骨牌覆盖掉。
优点：经典分治法问题，分治法太契合了。
缺点：看起来没啥缺点，其实就是递归的一个通病，当递归层数太多，要是棋盘的k值很大很大，这个问题消耗的时间就很多了。

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