1、一维空间

1.1蛮力法

代码：

import numpy as np# 求解两个一维点的距离
def Distance(a_point, b_point):return np.abs(a_point-b_point)# 蛮力法求解最近两个点的距离
def ClosestPair(points):mindist = np.infclose_points = []for i in range(0, len(points)-1):distance = Distance(points[i], points[i+1])if distance < mindist:# 每次保存最近两个点的信息之前先清空列表close_points.clear()mindist = distance# 保存最近两个点的信息close_points.append(points[i])close_points.append(points[i+1])return mindist, close_points# 排序
def Sort(points):print('随机产生的数：', points)points = sorted(points)print('排序后：', points)return ClosestPair(points)# 随机产生[0,100]中的五个整数
points = np.random.randint(0, 100, 5)
mindist,close_points=Sort(points)
print('最近点对：',close_points)
print('最小距离：',mindist)

结果：
随机产生5个点：

随机产生8个点：

分析：
首先对随机生成的一维点进行排序，时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。然后再遍历排序后的点，计算每一个点和后一个点的距离，于是就找到了距离最近的点对，时间复杂度为O(n)O(n)O(n)。故使用蛮力法解决一维最近点对问题的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

1.2分治法

最近点对问题的分治策略如下：
1、划分：
将集合SSS分成两个子集S1S_{1}S1和S2S_{2}S2，根据平衡子问题原则，用SSS中各点坐标的中位数作为分割点，则会得到一个平衡的分割点mmm，使得子集S1S_{1}S1和S2S_{2}S2中有个数大致相同的点，会出现以下三种情况：
①最近点对均在集合S1S_{1}S1中；
②最近点对均在集合S2S_{2}S2中；
③最近点对分别在集合S1S_{1}S1和S2S_{2}S2中。
2、求解子问题：
对于划分阶段的情况①和②可递归求解，如果出现情况③，问题就比较复杂了。
下面讨论情况③：设最近点对是ppp和qqq，那么有p∈S1,q∈S2p\in S_{1},q\in S_{2}p∈S1,q∈S2。递归地在S1S_{1}S1和S2S_{2}S2上求解最近点对问题，分别得到S1S_{1}S1和S2S_{2}S2中的最近距离d1,d2d_{1},d_{2}d1,d2，令d=min(d1,d2)d=min(d_{1},d_{2})d=min(d1,d2)。情况③则说明最近点对(p,q)(p,q)(p,q)在(m−d,m+d)(m-d,m+d)(m−d,m+d)的范围内，计算它们的距离。
3、合并：
比较三种情况下的最近点对，取三者之中的距离最小者为问题的解。

代码：

import numpy as np# 求解两个一维点的距离
def Distance(a_point, b_point):return np.abs(a_point-b_point)# 蛮力法求解最近两个点的距离
def ClosestPair(points):mindist = np.infclose_points = []for i in range(0, len(points)-1):distance = Distance(points[i], points[i+1])if distance < mindist:# 每次保存最近两个点的信息之前先清空列表close_points.clear()mindist = distance# 保存最近两个点的信息close_points.append(points[i])close_points.append(points[i+1])return mindist, close_points# 分治法求解最近两个点的距离
def ClosePoints1(points):left_points = []right_points = []temp_points = []if len(points) <= 3:  # 如果少于3个点，直接用蛮力法求解distance, close_points = ClosestPair(points)return distance, close_points# 求中间位置midindex = int(len(points)/2)# 将points分为左右部分for i in range(len(points)):if points[i] < points[midindex]:left_points.append(points[i])else:right_points.append(points[i])distance1, close_points1 = ClosePoints1(left_points)distance2, close_points2 = ClosePoints1(right_points)if distance1 < distance2:min_distance = distance1close_points = close_points1else:min_distance = distance2close_points = close_points2# 求中间部分最小距离for i in range(len(points)):   # 把中间宽度为2*min_distance的带状区域内的子集复制到temp_points中if np.abs(points[i]-points[midindex]) <= min_distance:temp_points.append(points[i])distance3 = np.infclose_points3 = []for i in range(len(temp_points)-1):if (temp_points[i+1]-temp_points[i]) >= min_distance:breaktemp_dis = Distance(temp_points[i], temp_points[i+1])if temp_dis < distance3:distance3 = temp_disclose_points3.append(points[i])close_points3.append(points[i+1])# 求最近点if min_distance > distance3:d = distance3close_points = close_points3else:d = min_distanceclose_points=close_pointsreturn d, close_points# 排序
def Sort(points):print('随机产生的数：', points)points = sorted(points)print('排序后：', points)return ClosePoints1(points)# 随机产生[0,100]中整数
points = np.random.randint(0, 100, 8)
mindist,close_points=Sort(points)
print('最近点对：',close_points)
print('最小距离：',mindist)

结果：

分析：
首先对随机生成的一维点进行排序，时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。由于情况①和情况②可递归求解，情况③的时间复杂度是O(n)O(n)O(n)，合并子问题解的时间复杂度为O(1)O(1)O(1)，则算法的时间复杂性可由递推式表示：T(n)=2T(n/2)+O(n)T(n)=2T(n/2)+O(n)T(n)=2T(n/2)+O(n)，即T(n)=O(nlogn)T(n)=O(nlogn)T(n)=O(nlogn)。故使用分治法解决一维最近点对问题的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。
一维空间的最近点对问题，分治法对于蛮力法而言看起来并没有优势，下面看看二维空间。

2、二维空间

待更新……

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