【算法分析与设计】平面最近点对（含最近距离、最近点对、第一次分割点集合的输出）

【问题描述】

给定二维平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。使用递归与分治策略求解二维平面上的最接近点对问题。假设所有点的集合为S，m为S中所有点的x坐标的中位数，垂直线x=m将集合S均匀分割为左右两个子集合S1和S2。

[输入]：

在屏幕上输入点的个数，以及所有点的x和y坐标。

[输出]：

第一次分割时，将所有点集合S分割为左右两个子集合S1和S2，分别输出左右子集合S1和S2，以及所有点集合S的最接近点对的距离以及最接近点对。

[样例输入]：

-15.4 -57.3

13.2 30.1

-87.5 93.2

47.6 -12.7

94.7 61.5

56.8 -57.1

27.8 43.5

-28.1 19.0

-96.2 47.5

55.5 -93.3

[样例输出]：

42.8

-28.1 19.0

13.2 30.1

36.2

55.5 -93.3

56.8 -57.1

19.8

13.2 30.1

27.8 43.5

[样例说明]：

输入：10个点，后续每行为每一点的x和y坐标。

输出：左右子集合S1和S2，以及所有点集合S的最接近点对的距离以及最接近点对。例如，前面三行中，S1的最接近点对的距离为42.8，最接近点对的x和y坐标分别为(-28.1,19.0)和(13.2,30.1)。输出最接近点对坐标时，先输出的点的x坐标小于后输出点的x坐标。中间三行和最后三行分别为子集合S2和集合S的最接近点对的距离以及最接近点对。

[问题分析]：

平面最近点对问题属于递归与分治类问题，此问题可以从一维最近点对问题开始研究：

当我们处理一个一维最近点对问题时，通过递归与分治的思想，我们可以不断对其进行二分，通过先对一维线上的点进行排序（此步骤是为了找中位数点的时候方便），然后找到这些点中的中位数mid，然后依此中位数为划分标准，对所有的点集合进行二分，划分为左集合和右集合，以此递归，在每层递归中，分别找到划分的左右集合中的最近点对，并选出最近的那一点对，然后再检查是否存在两个点一个在左集合，一个在右集合而这两点间的距离小于刚才找到的最近点对的距离（当然前人已经证明：如果最近点对出现在这种情况，在被划分的左右集合中最多各有一个点）。

然后再将此情景推广到二维平面点集合，划分标准中位数mid则由点集合中每个点的x坐标来求，mid也可以被看作是一条垂直的线x=mid，将这个二维平面进行了划分。接下来的步骤就跟一维最近点对问题的处理方法大致相同，不同的是，在出现最近点对的两个点是一个位于左集合，一个位于右集合时，不再是在被划分的左右集合中最多各有一个点，而是可能在左边出现n/2个点，右边最多出现6个点（这个结论前人也已经进行了证明）。

[算法步骤]：

1.将所有点按照x的进行排序

2.用x=mid将整个平面划分为两部分

3.求出x<=mid部分的最近点对距离d_left，求出x>mid部分的最近点对距离d_right，求出这两者中最小的距离记为d

4.找出所有x坐标在(mid-d,mid+d)范围中的点，放入res

5.对于(x,y),x∈(mid-d,mid)，如果点(x1,y1)中x1>mid且|y-y1|<d,那么记录两点间距离，如果小于d，那么更新d，否则检查下一个点，以此类推，直至遍历完res中所有的点。

[伪代码]：

if(r-l==1) return dis(node[l],node[r])

if(r-l==2) return min(dis(node[l],node[r]),min(dis(node[l],node[l+1]),dis(node[l+1],node[r])))

else

sort(node,node+n,by_X)

mid=(l+r)/2

d=min(closet(node,l,mid),closet(node,mid+1,r))

for i=l to r

if(fabs(node[i].x-node[mid].x)<d) res.push_back(node[i])

sort(res.begin(),res.end(),by_Y)

for i=0 to res.size

for j=i+1 to res.size

if(fabs(res[i].y-res[j].y)<d)

min_dis=dis(res[i],res[j])

if(min_dis<d) d=min_dis

[时间复杂度分析]：

T（n）=1 当k=2时

T（n）=2T(n/2)+n 当k>2时

所以T（n）=O(nlog2n)

[代码实现]：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct Point
{double x,y;
}Point;Point node[1000];
int n;double dis(Point a,Point b)
{return sqrt(pow((a.x-b.x),2)+pow((a.y-b.y),2));
}bool by_X(Point a,Point b)//按x大小排序
{if(a.x==b.x) return a.y<b.y;else return a.x<b.x;
}bool by_Y(Point a,Point b)//按y大小排序
{if(a.y==b.y) return a.x<b.x;else return a.y<b.y;
}void swap(Point &a,Point &b)
{Point c=a;a=b;b=c;
}
double closet(int l,int r,Point *best_node)
{if(r-l==1)//两个点的情况 {best_node[0]=node[l];best_node[1]=node[r]; return dis(node[l],node[r]);}else if(r-l==2)//三个点的情况 {double dis1=dis(node[l],node[l+1]);double dis2=dis(node[l+1],node[r]);double dis3=dis(node[l],node[r]);if(dis1<dis2&&dis1<dis3){best_node[0]=node[l];best_node[1]=node[l+1];return dis1;}if(dis2<dis1&&dis2<dis3){best_node[0]=node[l+1];best_node[1]=node[r];return dis2;}if(dis3<dis2&&dis3<dis1){best_node[0]=node[l];best_node[1]=node[r];return dis3;}}else//大于三个点的情况 { int mid=(l+r)/2;Point temp1[2],temp2[2];double d_left=closet(l,mid,best_node);temp1[0]=best_node[0];temp1[1]=best_node[1];if(mid==(0+n-1)/2) //为了保证是在最外一层递归（即第一次分割的时候）的时候再输出 {printf("%.1lf\n",d_left);if(temp1[0].x>temp1[1].x) swap(temp1[0],temp1[1]);printf("%.1lf %.1lf\n",temp1[0].x,temp1[0].y);printf("%.1lf %.1lf\n",temp1[1].x,temp1[1].y);} double d_right=closet(mid+1,r,best_node);temp2[0]=best_node[0];temp2[1]=best_node[1];if(mid==(0+n-1)/2) {printf("%.1lf\n",d_right);if(temp2[0].x>temp2[1].x) swap(temp2[0],temp2[1]);printf("%.1lf %.1lf\n",temp2[0].x,temp2[0].y);printf("%.1lf %.1lf\n",temp2[1].x,temp2[1].y);}double d;if(d_left<=d_right){d=d_left;best_node[0]=temp1[0];best_node[1]=temp1[1];}if(d_left>d_right){d=d_right;best_node[0]=temp2[0];best_node[1]=temp2[1];} vector<Point> res;for(int i=l;i<=r;i++)//将距离mid距离小于d的点放入res {if(fabs(node[i].x-node[mid].x)<d){res.push_back(node[i]);}}sort(res.begin(),res.end(),by_Y);//将res中的点按照y的大小进行排序，便于后面的筛选 for(int i=0;i<res.size();i++)//通过i，j遍历res中所有的点对，从而找到距离最近的点对 {for(int j=i+1;j<res.size();j++){if(fabs(res[i].y-res[j].y)>d) break;double min_dis=dis(res[i],res[j]);if(min_dis<d){d=min_dis;best_node[0]=res[i];best_node[1]=res[j];}}}  return d;   }}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;double d;for(int i=0;i<n;i++){cin>>node[i].x;cin>>node[i].y;}    Point best_node[2];//记录最近点对 sort(node,node+n,by_X);d=closet(0,n-1,best_node); printf("%.1lf\n",d);if(best_node[0].x>best_node[1].x) swap(best_node[0],best_node[1]);printf("%.1lf %.1lf\n",best_node[0].x,best_node[0].y);printf("%.1lf %.1lf",best_node[1].x,best_node[1].y);}

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