【数据结构笔记29】最小生成树问题：Prim算法与Kruskal算法

本次笔记内容：
8.1.1 Prim算法
8.1.2 Kruskal算法

文章目录

最小生成树问题
- 什么是最小生成树（Minimum Spanning Tree）
- 贪心算法
Prim算法
Kruskal算法

最小生成树问题

什么是最小生成树（Minimum Spanning Tree）

是一棵树：

没有回路；
|V|个顶点一定有|V|-1条边。

是生成树：

包含全部顶点；
|V|-1条边都在图里。

边的权重和最小。

如上图，向最小生成树里加一条边都一定能构成回路。并且“最小生成树存在”和“图连通”是充分必要条件。

贪心算法

“贪”：每一步都是最好的；
“好”：权重最小的边。
约束：

只能用图里有的边；
只能正好用掉|V|-1条边；
不能有回路。

Prim算法

让一棵小树长大。类似Dijkstra算法。

void Prim()
{MST = {s};while (1){V = 未收录顶点中dist最小者;if (这样的V不存在)break;将V收录进MST;for (V的每个邻接点W)if (W未被收录)if (E(V, W) < dist[W]){dist[W] = E(V, W);parent[W] = V;}}if (MST中收的顶点不到 | V | 个)Error("生成树不存在");
}

其中，dist[V]=E(s,V)或正无穷；
为了巧妙存储树，用parent定义树（节点的父节点），其中根节点parents[s]=-1。

Prim的时间复杂度是O(N2)O(N^2)O(N2)，适于稠密图。

Kruskal算法

将森林合并成树。

对边遍历：初始时，将每个节点都视为一棵树。逐渐地，将各树连接起来。

void Kruskal(Graph G)
{MST = {};while (MST中不到 | V | -1条边 && E中还有边){从E中取一条权重最小的边E(V, W); // 使用最小堆将E(V, W)从E中删除； if (E(V, W) 不在MST中构成回路) //并查集将E(V, W) 加入MST;else 彻底无视E(V, W);}if (MST中不到 | V | -1条边)Error("生成树不存在");
}

时间复杂度为O(E×log⁡2(E))O(E \times \log_2(E))O(E×log2(E))，适于V的数量约等于E的稀疏图。

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