【Java数据结构与算法】第十九章 贪心算法、Prim算法和Kruskal算法
2024-05-19 06:55:02
第十九章 贪心算法、Prim算法和Kruskal算法
文章目录
- 第十九章 贪心算法、Prim算法和Kruskal算法
- 一、贪心算法
- 1.介绍
- 2.支付问题
- 二、Prim算法
- 1.最小生成树
- 2.介绍
- 3.代码实现
- 三、Kruskal算法
- 1.介绍
- 2.代码实现
一、贪心算法
1.介绍
贪心算法（Greedy Algorithm）作为五大算法之一，在数据结构中的应用十分广泛。例如：在求最小生成树的 Prim 算法中，挑选的顶点是侯选边中权值最小的边的一个端点。在 Kruskal 算法中，每次选取权值最小的边加入集合。在构造哈夫曼树的过程中也是每次选取最小权值的结点构造二叉树。这种每次在执行子问题的求解时，总是选择当前最优的情形，恰好符合贪心的含义
贪心算法在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能的到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题，贪心算法能产生整体最优解或者是最优解的近似解
算法流程
- 建立数学模型来描述问题
- 把求解的问题分成若干个子问题
- 对每一个子问题求解，得到子问题的局部最优解
- 把子问题的局部最优解合成原来问题的一个解
伪代码
从问题的某一初始解出发while(能朝给定总目标前进){选择当前最优解作为可行解的一个解元素；}由所有解元素组合成问题的一个可行解
2.支付问题
题干
小明手中有 1，5，10，50，100 五种面额的纸币，每种纸币对应张数分别为 5，2，2，3，5 张。若小明需要支付 456 元，则最少需要多少张纸币
解题步骤
- 建立数学模型
设小明每次选择纸币面额为 Xi，需要的纸币张数为 n 张，剩余待支付金额为 V，则有：
X1 + X2 +…+ Xn = 456 - 问题拆分为子问题
小明选择纸币进行支付的过程，可以划分为 n 个子问题：即每个子问题对应为：
在未超过 456 的前提下，在剩余的纸币中选择一张纸币 - 制定贪心策略，求解子问题
指定的贪心策略为：在允许的条件下选择面额最大的纸币 - 将所有解元素合并为原问题的解
代码实现
package com.sisyphus.greedy;/*** @Description: 贪心算法$* @Param: $* @return: $* @Author: Sisyphus* @Date: 7/29$*/
public class Notes {public static void main(String[] args) {int N = 5;int[] Count = {5,2,2,3,5}; //每张纸币的数量int[] Value = {1,5,10,50,100}; //每张纸币的面值int money = 456;int num = 0;for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {int c = Math.min(money/Value[i],Count[i]); //每一种面额需要的张数money -= c*Value[i];num += c; //总张数}if (money > 0){System.out.println("无法支付当前金额！");}else{System.out.println("最少需要 " + num + " 张纸币");}}
}
二、Prim算法
1.最小生成树
在学习 Prim 算法前我们要先了解什么是最小生成树
- 连通图：无向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该无向图为连通图
- 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该有向图为强连通图
- 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网
- 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环
- 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树
2.介绍
Prim 算法是加权连通图里生成最小生成树的一种算法。该算法于 1930 年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现。并在 1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现。1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，Prim 算法又被称为 DJP 算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法
算法流程
- 对于一个加权连通图，其顶点集合为 V，边集合为 E。从集合 V 种任选一个顶点作为初始顶点，将该顶点标为已处理
- 已处理的所有顶点可以看成是一个集合 U，计算所有与集合 U 中相邻接的顶点的距离，选择距离最短的顶点，将其标记为已处理，并记录最短距离的边
- 不断计算已处理的顶点集合 U 和未处理的顶点的距离，每次选出距离最短的顶点标为已处理，同时记录最短距离的边，直至所有顶点都处理完
- 最终，所有记录的最短距离的边构成的树，即是最小生成树
- 首先，选取顶点 A 作为起始点，标记 A，并将顶点 A 添加至集合 U 中
- 集合 U 中只有一个顶点 A，与 A 邻接的顶点有 B 和 C，B、C 距 A 的距离分别为 6、3.选择距离最短的边（A，C），将 C 标记，并将 C 添加至集合 U 中
- 集合 U 中顶点为 A 和 C。与顶点 A 邻接的有 B、C，对应距离为 6、3.与 C 邻接的顶点有 B、F、E，对应的距离为 4、7、8.由于顶点 A、C 均被标记，故不能选择距离为 3 的路径。此时应选择距离最短边（C，B）。标记 B 并将 B 添加至集合 U 中
- 集合 U 新加入顶点 B。与顶点 B 邻接顶点有 A、C、D、F。A、C 已经在集合内，不能再被选取。顶点 B 到顶点 D、F 的距离分别为 2、3。顶点 C 到顶点 E、F 的距离分别为 7、8.因此选择距离最短边（B，D），将 D 标记，并将 D 添加至集合 U 中
- 集合 U 中顶点有 A、B、C、D。顶点 A 无可选顶点。顶点 B 可选顶点有 F，距离为 3.顶点 C 可选顶点有 E、F，对应距离分别为 8、7。顶点 D 可选顶点为 F，对应距离为 6。因此选取距离最短的边（B，F），标记 F，并将 F 添加至集合 U 中
- 集合 U 中顶点有 A、B、C、D、F。顶点 A、B、D 均无可选顶点。顶点 C 可选顶点为 E，对应距离为 8。顶点 F 可选顶点为 E，对应距离为 7。选取距离最短的边（F，E），标记 E，将 E 添加至集合 U 中
- 集合 U 中顶点有 A、B、C、D、E、F，但是均没有可选顶点，树的生成过程结束
3.代码实现
package com.sisyphus.prim;import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;/*** @Description: Prim 算法$* @Param: $* @return: $* @Author: Sisyphus* @Date: 7/29$*/
public class Prim {final static int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {int[][] matrix = new int[][]{{0,6,3,INF,INF,INF},{6,0,4,2,INF,3},{3,4,0,INF,8,7},{INF,2,INF,0,INF,6},{INF,INF,8,INF,0,7},{INF,3,7,6,7,0},};int[] parents = prim(matrix);//0 ~ (parents.length-1)对应 A~F ，存放最小生成树 A~F 的父结点System.out.println(Arrays.toString(parents));}private static int[] prim(int[][] matrix){List<Integer> reachedVertexList = new ArrayList<>();//选择顶点 0 为初始顶点，放入已触达顶点集合中reachedVertexList.add(0);//创建最小生成树数组，首元素设为 -1，代表生成树的根结点int[] parents = new int[matrix.length];parents[0] = -1;//边的权值int weight;//源顶点下标int fromIndex = 0;//目标顶点下标int toIndex = 0;while(reachedVertexList.size() < matrix.length){weight = INF;//在已触达的顶点中，寻找到达新顶点的最短边for (Integer vertextIndex : reachedVertexList){for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {if (!reachedVertexList.contains(i)){if (matrix[vertextIndex][i] < weight){fromIndex = vertextIndex;toIndex = i;weight = matrix[vertextIndex][i];}}}}//确定了权值最小的目标顶点，放入已触达顶点集合reachedVertexList.add(toIndex);//放入最小生成树的数组parents[toIndex] = fromIndex;}return parents;}
}
时间复杂度为 O(n^2)
三、Kruskal算法
1.介绍
Kruskal 算法的时间复杂度为 O(edge)，所以适合于求边稀疏的网的最小生成树
算法流程
- 把图中的所有边按距离从小到大排序
- 把图中的 n 个顶点看成独立的 n 棵树组成的森林
- 按权值从小到大选择边，如果这条边连接的两个顶点不属于同一棵树，则这条边符合条件
- 重复步骤 3 直到所有顶点都在同一棵树内或者有 n-1 条边为止
- 首先将所有的边按照距离从小到大进行排序，排序结果为：(B,D)、(B,F)、(A,C)、(B,C)、(A,B)、(D,F)、(E,F)、(C,E)
- 距离最短的边为 (B,D)，且顶点 B、D 不属于同一棵树，将顶点 B、D 合并到同一棵子树
- 距离最短的边为 (A,C)，且顶点 A、C 不属于同一棵树，将顶点 A、C 合并到同一棵子树
- 距离最短的边为 (B,F)，且顶点 B、F 不属于同一棵树，将顶点 B、F 合并到同一棵子树
- 距离最短的边为 (B,C)，且顶点 B、C 不属于同一棵树，将顶点 B、C 合并到同一棵子树
- 距离最短的边为 (A,B)，但是顶点 A、B 属于同一棵树，因此不能选择此边
- 距离最短的边为 (E,F)，但是顶点 E、F 属于同一棵树，因此不能选择此边
- 距离最短的边为 (E,F)，且顶点 E、F 不属于同一棵树，将顶点 E、F 合并到同一棵子树
- 所有顶点均在同一棵树内，生成过程完毕
2.代码实现
package com.sisyphus.kruskal;import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;/*** @Description: Kruskal 算法$* @Param: $* @return: $* @Author: Sisyphus* @Date: 7/29$*/
public class Kruskal {private int edgeNum;private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用INF代表两个顶点不能连通private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;//构造器public Kruskal(char[] vertexs,int[][] matrix){this.vertexs=vertexs;this.matrix=matrix;//统计边的条数 邻接矩阵右上角for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i+1; j < vertexs.length; j++) {if (this.matrix[i][j]!=INF){this.edgeNum++;}}}}public static void main(String[] args) {char[] vertexs= {'A','B','C', 'D', 'E','F'};//克魯斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][]= {{0,6,3,INF,INF,INF},{6,0,4,2,INF,3},{3,4,0,INF,8,7},{INF,2,INF,0,INF,6},{INF,INF,8,INF,0,7},{INF,3,7,6,7,0},};//创建 KruskalCase 对象实例Kruskal kruskal = new Kruskal( vertexs, matrix);//输出构建的 kruskalCase.kruskal();kruskal.kruskal();}public void kruskal(){int index=0;//用于保存"已有最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中的终点int[] ends=new int[edgeNum];//存放选取的边集合EData[] rets=new EData[edgeNum];//获取到图中的边EData[] eData=getEdges();//将所有的边按权值进行排序sortEdges(eData);//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路,如果没有，就加入rets,否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1=getPosition(eData[i].start);//获取到第i条边的第2个顶点int p2=getPosition(eData[i].end);//获取pl这个顶点在已有最小生成树中的终点int m=getEnd(ends,p1);//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n=getEnd(ends,p2);//是否构成回路if (m!=n){ends[m]=n; //设置m在"已有最小生成树"中的终点rets[index++]=eData[i];}}//打印最小生成树for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}/***获取下标为 i 的顶点的终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends 数组 就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标*/public int getEnd(int[] ends,int i){while (ends[i]!=0){i=ends[i];}return i;}//获取顶点间所有的边（实例）集合public EData[] getEdges(){EData[] edges = new EData[edgeNum];int index = 0; //边的下标for (int i = 0; i < this.vertexs.length; i++) {for (int j = i+1; j < this.vertexs.length; j++) {//找到一条边if (this.matrix[i][j]!=INF){edges[index++]=new EData(this.vertexs[i],this.vertexs[j],this.matrix[i][j]);}}}return edges;}//对边集合进行排序（按照权值weight） 冒泡排序public void sortEdges(EData[] edges){for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length-i-1; j++) {if (edges[j].weight>edges[j+1].weight){EData tempEdge=edges[j];edges[j]=edges[j+1];edges[j+1]=tempEdge;}}}}//获得顶点对应的下标public int getPosition(char vertex){for (int i = 0; i < this.vertexs.length; i++) {if (this.vertexs[i]==vertex){return i;}}return -1;}
}//该类实例代表一条边
class EData{char start; //边的一端（顶点）char end; //边的另一端（另一个顶点）int weight; //距离（权值）public EData(char start,char end,int weight){this.start=start;this.end=end;this.weight=weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData[<"+start+","+end+">,"+"weight:"+weight+"]";}
}
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