动态规划|最大k乘积问题(C语言)

题目：

【分析】
先通过若干个简单例子来观察规律，摸索思路。例如十进制整数 1234 划分为 3 段可有如下情形：
1 × 2 × 34 = 68
1 × 23 × 4 = 92
12 × 3 × 4 = 144（满足要求的解）

以计算正整数 1234 的最大 3 乘积为例，即 I = 1234，n = 4，k = 3（将 1234 分为 3 段）。由于计算乘积时要使用整数中的“一段”数字，则定义 w(s,t) 表示 I 中从第 s 位到第 t 位组成的数，如 w(2,3)=23；按照动态规划算法处理问题的步骤，定义 m(i,j) 表示整数 I 的前 i 位分成 j 段所得的“最大 j 乘积”，显然所求的问题即为计算 m(n,k)。
根据上述定义，显然有：
（1）当 i < j 时（这种情况下整数 I 的前 i 位无法分成 j 段），定义 m(i,j) = 0；
（2）当 j = 1 时（分为 1 段），有 m(i,j) = m(i,1) = w(1,i)；
（3）当 j > 1且 j <= i 时，从 I 中的前 d 位数字（d 从 1 循环到i-1）可得到“最大 j-1 乘积（即 j-1 分段）”，然后乘以剩下的数字（组成 1 段，为 w(d+1,i)，即从 d+1 位开始，到 I 的第 i 位），写成状态方程即为：

计算过程中会建立 2 个二维数组 W 和 M，前者是 n x n 阵，储存w(s,t) 的值（表示 I 中从第 s 位到第 t 位组成的数）；后者是 n x k 阵，储存 m(i,j) 的值。以计算正整数 1234 的最大 3 乘积为例，即 I = 1234，n = 4，k = 3，则有：

综上，可得m(i,j)的递推关系如下:

代码：

// 使用的库定义
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>// ######################################################################## //
//                                                                          //
//                              下面是数据定义区                               //
//                                                                          //
// ######################################################################## //#define STR_LEN 100
#define TRUE    1
#define FALSE   0//// ######################################################################## //
//                                                                          //
//                           下面是各个子函数定义                               //
//                                                                          //
// ######################################################################## //int  CalcMaxKProduct( int n, int k, int **D, int **P );  //计算正整数的最大 k 乘积
void PrintProductMatrix( int n, int k, int **D, int **P );//显示计算数据 //// ######################################################################## //
//                                                                          //
//                          下面是各个子函数的实现                             //
//                                                                          //
// ######################################################################## //// 使用动态规划法计算两个字符串之间的编辑距离 ...
//
// 测试数据如下 :
// ( 1 ) 1234 划分为 3 段 : 12 * 3 * 4 = 144
// ( 2 ) 自行设计 2 个测试用例
int CalcMaxKProduct( int n, int k, int **D, int **P )
{int i, j, t, maxv, tk;//当i<j无法进行分段 for(i = 1;i <= n;i++)  //分成一段 j=1 {P[i][1]= D[1][i];}for(i = 1; i <= n;i++)  //DP过程 {for(j = 2;j <= i;j++)   //当 j > 1且 j <= i 时，从 I 中的前 t 位数字（t 从 1 循环到i-1）可得到“最大 j-1 乘积（即 j-1 分段） {maxv = 0;for(t = 1;t < i;t++){if((tk = P[t][j-1]*D[t+1][i]) > maxv)  //然后乘以剩下的数字（组成 1 段，为 D(t+1,i)，即从 t+1 位开始，到 I 的第 i 位）， maxv = tk;}P[i][j] = maxv;}}return P[n][k];
}// 打印编辑距离矩阵 ...
void PrintProductMatrix( int n, int k, int **D, int **P )
{int i, j;// 打印 'D' ...printf( "\t生成的整数分段值矩阵为 : \n" );for(i=1 ; i<= n; i++){for(j=1 ; j<= n; j++){printf("%d ",D[i][j]);printf(" ");} printf("\n");}printf( "\n\n" );// 打印 'P' ...printf( "\t生成的分段乘积矩阵为 : \n" );for(i=1 ; i<= n; i++){for(j=1 ; j<= k; j++){printf("%d ",P[i][j]);printf(" ");}printf("\n");
}printf( "\n\n" );
}//// ######################################################################## //
//                                                                          //
//                             下面是主程序的实现                              //
//                                                                          //
// ######################################################################## //int main()
{char StrI[ STR_LEN ];char StrK[ STR_LEN ];int  *I, n;    // 储存输入的整数及其长度 ...int  k;        // 输入的整数分为 'k' 段 ...int  **D, **P; // 二维数组, 储存整数的各个分段值及乘积值 ...int  i, j, MaxProduct;int  IsStop;IsStop = FALSE;while ( !IsStop ){// 清屏 ...system( "cls" );// 输入整数 'I' ...printf( "\n\n\t请输入 < 整数 I 的值 > ， 输入 < q / Q > 表示结束 : " );scanf( "%s", StrI );n = strlen( StrI ); // 输入整数的位数 ...if ( n > 0 )IsStop = ( ( StrI[ 0 ] == 'q' ) || ( StrI[ 0 ] == 'Q' ) );elseprintf( "\t输入的整数不能为空 !\n\n" );if ( !IsStop ){// 输入分段数 'k' ...printf( "\n\t请输入 < 整数分段数 k > ， 输入 < q / Q > 表示结束 : " );scanf( "%s", StrK );if ( strlen( StrK ) > 0 )IsStop = ( ( StrK[ 0 ] == 'q' ) || ( StrK[ 0 ] == 'Q' ) );elseprintf( "\t输入的整数分段数不能为空 !\n\n" );// 输入的整数及其分段数 'I' 和 'k' 均不为空, 则计算最大 'k' 乘积 ...if ( !IsStop ){// 将输入的字符串转换为整数 ...// 输入的整数 'I' ...// 动态申请一维数组 ...I = ( int * )malloc( ( n + 1 ) * sizeof( int ) );// 将输入的字符串整数的每一位放入 'I' 中 ...for ( i = 1; i <= n; i++ )I[ i ] = StrI[ i - 1 ] - '0'; // 注意序号起始值 ...// 输入的分段数 'k' ...k = atoi( StrK ); //把StrK(字符串)转换为一个整数 // 动态申请二维数组 'D' 和 'P' ...// 'D' - 储存整数的各个分段值( n x n 阵 ) ...//定义 D(s,t) 表示 I 中从第 s 位到第 t 位组成的数 D = ( int ** )malloc( ( n + 1 ) * sizeof( int ) );for ( i = 0; i <= n; i++ )D[ i ] = ( int * )malloc( ( n + 1 ) * sizeof( int ) );// 初始化 ...for ( i = 0; i <= n; i++ )for ( j = 0; j <= n; j++ )D[ i ][ j ] = 0;// 'P' - 储存整数的分段乘积值( n x k 阵 ) ...//定义 P(i,j) 表示整数 I 的前 i 位分成 j 段所得的“最大 j 乘积” P = ( int ** )malloc( ( n + 1 ) * sizeof( int ) );for ( i = 0; i <= n; i++ )P[ i ] = ( int * )malloc( ( k + 1 ) * sizeof( int ) );// 初始化 ...for ( i = 0; i <= n; i++ )for ( j = 0; j <= k; j++ )P[ i ][ j ] = 0;// 生成 'D' 矩阵 ...//表示 I 中从第 s 位到第 t 位组成的数 for( i = 1 ;i <= n; i++ ){D[i][i] = I[i];for(j = i+1;j <= n;j++){D[i][j] = D[i][j-1]*10+I[j];   }}// 计算最大 'k' 乘积 ...MaxProduct = CalcMaxKProduct( n, k, D, P );// 显示计算结果 ...printf( "\n\t< 计算得到的最大 k 乘积为：%d > \n\n", MaxProduct );// 打印数值矩阵 ...PrintProductMatrix( n, k, D, P );// 释放二维数组 'D' 和 'P' 的空间 ...for ( i = 0; i <= n; i++ )free( D[ i ] );free( D );for ( i = 0; i <= n; i++ )free( P[ i ] );free( P );// 等待用户输入任意一键返回 ...printf( "\n\n" );system( "PAUSE" );}}}// 等待用户输入任意一键返回 ...printf( "\n\n" );return 0;
}//

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