题目要求

设I是一个n位十进制整数。如果将I划分为k段，则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
例如十进制整数 1234 划分为 3 段可有如下情形：
1 × 2 × 34 = 68
1 × 23 × 4 = 92
12 × 3 × 4 = 144

大体思路

证明满足最优性原理
假设最大k乘积是将前x位划分为k-1段，再乘以最后的整数。若前x位的划分不是最优的方法，则其乘积必然小于最优化分方法所得乘积S_max,则其与最后的整数所得结果也并非最大k乘积，与前提矛盾。因此，将前x位划分为k-1段所得结果比为其最大乘积。
【动态规划问题中对于最优性原理的证明多采用反证法】
确定动态规划函数
令number(i,j)表示第i位到第j位整数组成的(j-i+1)位整数；
令product(p,q)表示前p位整数被划分为q段所得到的最大乘积；
[若划分段数大于整数位数，则结果为0]

初始子问题：(q=1时)
product(p,1)=number(1,p)
无论多少位整数，被划分为一段，其最大k乘积均为其本身。
下一阶段子问题：(q>1且q<=p时)
product(p,q)=max{product(x,q-1)*number(x+1,p)}
(1<=x<=p-1)
p为整数分为q段，分别求出前x位这个数分为q-1段所得最大乘积与余下数段的乘积，选择合适的数据结构记录，然后进行比较，最大的结果即为product(p,q)。

列表

q\p	1	2	3	4
1	1	12	123	1234
2	0	2	36	492
3	0	0	6	144
4	0	0	0	24

第一行将整数分为一段，结果即为其本身；
第二行
product(2,2)=max{product(1,1)*number(2,2)}=2;
product(3,2)=max{product(1,1)*number(2,3),
product(2,1)*number(3,3)}=max{1*23,12*3}=36;
product(4,2)=max{product(1,1)*number(2,4),product(2,1)*number(3,4),product(3,1)*number(4,4)}=max{1*234,12*34,123*4}=492;
第三行
product(3,3)=max{product(2,2)*number(3,3)}=6;
product(4,3)=max{product(3,2)*number(4,4),product(2,2)*number(3,4)}=max{36*4,2*34}=144;
第四行
product(4,4)=max{product(3,3)*number(4,4)}=24;

q\p	3	31	312
1	3	31	312
2	0	3	62

c++实现源代码

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;//文件中输入的第一行为n k   第二行为整数
//将从文档中所得的数值转换成数组存储
void getnumber(int number[20],int num,int n)
{int b = 0;for (int a = n-1; a>=0; a--){b = num % 10;num = num / 10;number[a] = b;}return;
}
//求第p到q位整数所代表的数值
int countnumber(int p, int q,int *number)
{int newnumber = 0;for (int a=p;a<=q;a++){newnumber = newnumber* 10+number[a];}return newnumber;
}
int main()
{int k; int n; int num;int number[20];int product[20][20];ifstream f1("C:\\Data\\1.txt");ofstream f2("C:\\Data\\2.txt");f1 >> n;f1 >> k;f1 >> num;getnumber(number, num, n);if (k == 1)//分段数仅为一时 皆为其本身{cout << "最大k乘积为" << num << "\n";f2 << "最大k乘积为" << num << "\n";return 0;}for (int temp = 0; temp < n; temp++){product[0][temp] = countnumber(0, temp, number);}for (int i = 0; i < n; i++)//i表列{for (int j = 1; j < k; j++)//j表行{if (j > i){product[j][i] = 0;break;//分段数大于整数位数}if (j <= i){int max = 0; int temp = 0;for (int a = i-1; a >= 0; a--){int nnum = countnumber(a + 1, i, number);temp = nnum * product[j - 1][a];if (temp > max)max = temp;//逐一计算留下最优}product[j][i] = max;}}}cout << "最大k乘积为   " << product[k-1][n-1] << "\n";f2 << "最大k乘积为   " << product[k - 1][n - 1] << "\n";f1.close();f2.close();return 0;
}

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