数学证明

ax + by = gcd(a,b)

令gcd(a,b) = d

得：ax + by = d ①

因为：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

所以：bx + a%b * y = d

bx + (a-[a/b] * b) * y = d     注：[ ]是向下取整的意思

整理得：bx + ay - [a/b] * by = d

ay + b(x - [a/b] * y) = d ②

由①和②得：

1 . x = y

2. y = x - [a/b] * y = x - [a/b] * x

边界：

当b=0时，ax + by = gcd(a,b) = a

ax = a ==> x = 1

by = 0 ==> y = 0

综上：

x = 1, y = 0     (b=0)

x = y,   y = y-[a/b] * x (或写成y-=[a/b]*x)     (b!=0)

代码实现

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{if(b==0){d = a;x = 1;y = 0;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y -= x*(a/b);}
}

注意：x y 需要引用操作

老规矩，上一道例题收个尾！

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Sample Input
2 3
Sample Output
2

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{if(b==0){d = a;x = 1;y = 0;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y -= x*(a/b);}
}
int main()
{ll m,n,k;cin>>m>>n;ll x,y,d;exgcd(m,n,d,x,y);k = (x%n+n)%n;cout<<k<<endl;
}

最后，感谢您的阅读！！！

因为，约还没有赴，你还没有见着，事还没有成。所以，为之千千万万遍努力。

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