首先，先看一道例题：

如果不考虑超时的话，我们完全可以用最朴素的方法（暴力）去求

//暴力算法（n*m）
int ViolentMatch(char *s,char *p)
{int sLen = strlen(s);int pLen = strlen(p);int i = 0;int j = 0;while(i<sLen&&j<pLen){if(s[i]==p[j]){i++;j++;}else{i = i-j+1;j = 0;}}if(j==pLen)return i-j;elsereturn -1;
}

但n*m的时间复杂度显然是不行的（1e7~1e8——》1s）

这就引进了一个问题：如何优化？

我们不难发现：朴素的算法最浪费时间的是——》一个一个回溯的过程（找到不匹配的，j = 0,i = i-j+1）。简单来说就是i不断的回溯，很多情况下是没有意义的（人脑一眼就可以知道下一个还是不匹配，但朴素算法还是笨蛋的不断回溯）

可以看下面的例子：（人脑一眼就知道b不匹配a，希望下一步到a匹配a然后比较下一个是否匹配）

ababbba
abb
发现b与a不匹配
下一步：朴素：
ababbbaabb
我们希望：
ababbbaabb

当然也不一定这么巧，下一步就直接是答案了。

知道了优化方案，接下来就是把理想转换为现实！！！

KMP思想：

朴素算法里主串的i是不断回溯的，但从上面的例子可以看出这种回溯是没有必要的，好马不吃回头草，KMP算法就是为了避免这种没有必要的回溯。

既然i不用回溯，那么我们就要考虑j的变化。通过上面的例子我们可以知道，P串手字符和后面字符比较，如果有相等的字符，j的变化就会不同，也就是说，j的变化和主串没有关系，关键取决于p串结构是否有重复，这种字符前后重复的长度成为前缀后缀和，只要求出最长前缀后缀和就知道j怎么变化了。

这也引出了一个问题：如何求前缀后缀？？？

寻找最长前缀后缀(一大难点)

A B C A B X

0 0 0 1 2 0

模式串的各个字符前缀后缀最长前缀后缀

A NULL NULL 0

AB A B 0

ABC A,AB C,BC 0

ABCA A,AB,ABC A,CA,BCA 1

ABCAB A,AB,ABC,ABCA B,AB,CAB,BCAB 2

ABCABX A,AB,ABC,ABCA,ABCAB X,BX,ABX,CABX,BCABX 0

失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 - 失匹配字符的上一位字符所对应的最长前缀后缀和。

我们发现，当匹配到一个字符失配时，其实没有必要考虑当前失配的字符，更何况我们每次失配时，都是看的失配字符的上一位字符对应的最大长度值。如此，便引入了next数组。

给定字符串“ABCDABD”,可求得它的next数组如下：

模式串 A B C D A B D

最大长度值 0 0 0 0 1 2 0

next数组 -1(约定) 0 0 0 0 1 2
s[i] != p[j]
i 不变
j = 0~j-1的最长前缀后缀
也就是：j = next[j]

规律总结：

发生失配时：

*如果next[j] != 0 则 j = next[j];

*否则下一次匹配j从0开始，意味着p串从头开始匹配

*次意味着什么呢？究其本质，next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中，有长度为 k 的相同前缀和后缀。有了这个 next 数组，在KMP匹配中，当匹配串中 j 处的字符失配时，下一步用next[j] 处的字符继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动j - next[j] 位。

这就是KMP的主干部分，剩下的难点就是如何求 next 数组了

KMP的算法流程

假设现在文本串 s 匹配到 i 位置，模式串p匹配到 j 位置；

*如果s[i] == p[j] ,令i++ , j++ , 继续匹配下一个字符；

*否则s[i] != p[j] ,令i不变， j = next[j];

*特殊情况：

若 j 回退到下标0的字符依旧失配，说明以当前的 i 开头的s串无法与 p 串配对，所以要将 i+1 ，从下一个开始尝试配对。为了统一和代码的简便，通常设 next[0] = -1，同时更改判断条件，完整的KMP流程如下：
流程：
初始化：i = 0,j = 0循环条件：i < slen && j < plen循环内部：
如果 j == -1 || s[i] == p[j] ,则 i++ , j++
否则 j = next[j]循环外部：
j == m 说明找到子串
j != m 说明匹配失败
KMP的时间复杂度：o(n+m)

获得next数组的代码：

void getnext()
{int n = strlen(p);Next[0] = -1;int k = -1,j = 0;while(j<n){if(k==-1||p[j]==p[k])Next[++j] = ++k;//next[j+1] = k+1;elsek = Next[k];//k小于j，所以一直是回退 }
}

KMP代码：

int kmp()
{int n = strlen(s),m = strlen(p);int i = 0,j = 0;while(i<n&&j<m){if(j==-1||s[i]==p[j]){i++;j++;}elsej = Next[j];}if(j==m) return i-j;//下表从0开始 return -1;
}

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6+9;
char s[N],p[N];
int Next[N],ans[N];
void getnext()
{int n = strlen(p);Next[0] = -1;int k = -1,j = 0;while(j<n){if(k==-1||p[j]==p[k])Next[++j] = ++k;//next[j+1] = k+1;elsek = Next[k];//k小于j，所以一直是回退 }
}
int kmp()
{int n = strlen(s),m = strlen(p);int i = 0,j = 0;while(i<n&&j<m){if(j==-1||s[i]==p[j]){i++;j++;}elsej = Next[j];}if(j==m) return i-j;//下表从0开始 return -1;
}
int main()
{int round = 0;int n;while(~scanf("%d",&n)&&n){scanf("%s",p);round++;getnext();printf("Test case #%d\n",round);for(int i = 1;i<=n;i++){if(Next[i]&&i%(i-Next[i])==0)printf("%d %d\n",i,i/(i-Next[i]));}printf("\n");}
}

KMP应用——最小循环节

kmp应用：

定理：假设 s 的长度为 len ，这 s 存在最小循环节，循环节的长度 L 为 len - next[len]，子串为 s[0...len-next[len]-1]。

如果 len 可以被 len - next[len] 整除，则表明字符串 s 可以完全由循环节循环而成，循环周期 T = len/L。

如果不能，说明还需要再添加几个字母才能补全。需要补的个数是循环个数 L - len%L L = len - next[len]。

理解：

对于一个字符串，如abcd abcd abcd ，由长度为4的字符串abcd重复3次得到，那么必然有原字符串的前八位等于后八位。

也就是说，对于某个字符串 s ，长度为len，由长度为 L 的字符串 s 重复 R 次得到，当R>=2 时必然有 s[0...len-L-1] = s[L...len-1]，字符串下标从0开始

那么对于KMP算法来说，就有next[len] = len-L。此时L肯定已经是最小的了（因为next的值是前缀和后缀相等的最大长度，即 len-L 是最大的，那么在 len 已经确定的情况下，L是最小的）。

例题：Power Strings

Given two strings a and b we define a*b to be their concatenation. For example, if a = "abc" and b = "def" then a*b = "abcdef". If we think of concatenation as multiplication, exponentiation by a non-negative integer is defined in the normal way: a^0 = "" (the empty string) and a^(n+1) = a*(a^n).

Input

Each test case is a line of input representing s, a string of printable characters. The length of s will be at least 1 and will not exceed 1 million characters. A line containing a period follows the last test case.

Output

For each s you should print the largest n such that s = a^n for some string a.

Sample Input
abcd
aaaa
ababab
.
Sample Output
1
4
3
Hint

This problem has huge input, use scanf instead of cin to avoid time limit exceed.

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6+9;
char s[N],p[N];
int Next[N];
void getnext()
{int n = strlen(p);Next[0] = -1;int k = -1,j = 0;while(j<n){if(k==-1||p[j]==p[k])Next[++j] = ++k;//next[j+1] = k+1;elsek = Next[k];//k小于j，所以一直是回退 }
}int main()
{while(scanf("%s",p),p[0]!='.'){getnext();//最小循环节 int len = strlen(p);int L = len - Next[len];if(len%L==0)printf("%d\n",len/L);elseprintf("1\n");}
}

最后，感谢您的阅读！！！

ps:文章内容部分来自KMP算法详解，看完必会！_哔哩哔哩_bilibili视频

若有侵权请联系我，我将积极配合删除文章

这个视频对我有很大的帮助，同时我也非常推荐初学KMP算法的小伙伴们观看！！！

只要还有一口气，就继续战斗，继续呼吸，一直呼吸。——《荒野猎人》

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模式串	A	B	C	D	A	B	D
最大长度值	0	0	0	0	1	2	0
next数组	-1(约定)	0	0	0	0	1	2