标准Lipschitz连续函数与伪Lipschitz连续函数
标准Lipschitz连续
数学中，对于一个实数函数f:R→Rf: \mathbb R \rightarrow \mathbb Rf:R→R，如果满足函数曲线上任意两点连线的斜率一致有界，即任意两点的斜率都小于常数K>0K>0K>0，
∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣| f(x_1) - f(x_2) | \leq K |x_1 - x_2| ∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣
则函数fff称为K-Lipschitz连续函数，KKK称为Lipshitz常数。
Lipshitz连续要求函数在无限的区间上不能有超过线性的增长，如果一个函数可导，并满足Lipschtz连续，那么导数有界。如果一个函数可导，并且导数有界，那么函数为Lipschtz连续。
伪Lipschitz连续
给定p≥1p \geq 1p≥1，函数f:Rs→Rr\boldsymbol f: \mathbb R^s \rightarrow \mathbb R^rf:Rs→Rr，如果∃C>0\exist C > 0∃C>0，使得对∀x1,x2∈Rs\forall \boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in \mathbb R^s∀x1,x2∈Rs，有
∥f(x1)−f(x2)∥≤C∥x1−x2∥[1+∥x1∥p−1+∥x2∥p−1]\Vert \boldsymbol f(\boldsymbol x_1)- \boldsymbol f(\boldsymbol x_2) \Vert \leq C \Vert \boldsymbol x_1 - \boldsymbol x_2 \Vert \left [ 1+ \Vert \boldsymbol x_1 \Vert^{p-1} + \Vert \boldsymbol x_2 \Vert^{p-1} \right ] ∥f(x1)−f(x2)∥≤C∥x1−x2∥[1+∥x1∥p−1+∥x2∥p−1]
则函数f\boldsymbol ff被称为ppp阶伪Lipschitz连续函数(pseudo-Lipschitz of order ppp)，当p=1p=1p=1时，退化为标准Lipschitz连续。
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