深度学习-生成模型：WGAN【Lipschitz：Weight Clipping】--＞ WGAN-GP【Lipschitz：Gradient Penalty】

  • 一、WGAN相比较GAN的改进点
  • 二、原始GAN究竟出了什么问题
    • 1、原始GAN的损失函数
      • 1.1 【判别器】的损失函数
      • 1.2 生产器的损失函数
    • 2、第一种原始GAN形式的问题
    • 3、第二种原始GAN形式的问题
    • 4、原始GAN问题小结
  • 三、WGAN之前的一个过渡解决方案
  • 四、Wasserstein Distance/Wasserstein距离\text{Wasserstein Distance/Wasserstein距离}Wasserstein Distance/Wasserstein距离
  • 五、从Wasserstein距离到WGAN
  • 六、WGAN总结
  • 七、WGAN-GP(改进的WGAN)
    • 1、WGAN存在的问题
      • 1.1 WGAN问题01
      • 1.2 WGAN问题02
    • 2、WGAN-GP解决方案
      • 2.1 Gradient Penalty方法
      • 2.2 “WGAN 的 Weight Clipping方法” v.s “WGAN-GP 的 Gradient Penalty方法”
      • 2.3 WGAN-GP的算法框图
  • 自从2014年Ian Goodfellow提出以来，GAN就存在着训练困难、【生成器】和【判别器】的loss无法指示训练进程、生成样本缺乏多样性等问题。
  • 从那时起，很多论文都在尝试解决，但是效果不尽人意，比如最有名的一个改进DCGAN依靠的是对【判别器】和【生成器】的架构进行实验枚举，最终找到一组比较好的网络架构设置，但是实际上是治标不治本，没有彻底解决问题。

一、WGAN相比较GAN的改进点

  • Wasserstein GAN（下面简称WGAN）成功地做到了以下爆炸性的几点：

    1. 彻底解决GAN训练不稳定的问题，不再需要小心平衡【生成器】和【判别器】的训练程度
    2. 基本解决了Mode Collapse的问题，确保了生成样本的多样性
    3. 训练过程中终于有一个像交叉熵、准确率这样的数值来指示训练的进程，这个数值越小代表GAN训练得越好，代表【生成器】产生的图像质量越高（如题图所示）
    4. 以上一切好处不需要精心设计的网络架构，最简单的多层全连接网络就可以做到
  • 那以上好处来自哪里？这就是令人拍案叫绝的部分了——实际上作者整整花了两篇论文，在第一篇《Towards Principled Methods for Training Generative Adversarial Networks》里面推了一堆公式定理，从理论上分析了原始GAN的问题所在，从而针对性地给出了改进要点；在这第二篇《Wasserstein GAN》里面，又再从这个改进点出发推了一堆公式定理，最终给出了改进的算法实现流程，而改进后的WGAN相比原始GAN的算法实现流程却只改了四点：
    1. 【判别器】最后一层去掉sigmoid
    2. 改变【生成器】和【判别器】的损失函数：【生成器】和【判别器】的loss不取log
    3. 使用 “Weight Clipping” 技巧来模拟 Lipschitz限制要求：每次更新【判别器】的参数之后把它们的绝对值截断到不超过一个固定常数c(注：实际上“Weight Clipping” 技巧的效果不太好)。
    4. 不要用基于动量的优化算法（包括momentum和Adam），推荐RMSProp，SGD也行
  • 改动是如此简单，效果却惊人地好，以至于Reddit上不少人在感叹：就这样？没有别的了？ 太简单了吧！这些反应让我想起了一个颇有年头的鸡汤段子，说是一个工程师在电机外壳上用粉笔划了一条线排除了故障，要价一万美元——画一条线，1美元；知道在哪画线，9999美元。上面这四点改进就是作者Martin Arjovsky划的简简单单四条线，对于工程实现便已足够，但是知道在哪划线，背后却是精巧的数学分析。

二、原始GAN究竟出了什么问题

1、原始GAN的损失函数

1.1 【判别器】的损失函数

  • 原始GAN中【判别器】要最小化如下损失函数，尽可能把真实样本分为正例，生成样本分为负例，所以【判别器】的损失函数由两部分组成：
    −Ex∼Pdata(x)[logD(x)]−Ex∼PG(x)[log(1−D(x))](公式1)-\mathbb{E}_{\textbf{x}\sim P_{data}(\textbf{x})}[logD(\textbf{x})]-\mathbb{E}_{\textbf{x}\sim P_G(\textbf{x})}[log(1-D(\textbf{x}))] \qquad \text{(公式1)}−Ex∼Pdata​(x)​[logD(x)]−Ex∼PG​(x)​[log(1−D(x))](公式1)
    其中：PdataP_{data}Pdata​ 是真实样本分布；PGP_GPG​ 是生产器生产的样本的样本分布；

1.2 生产器的损失函数

  • 对于【生成器】，Goodfellow一开始提出来一个损失函数：
    Ex∼PG(x)[log(1−D(x))](公式2)\mathbb{E}_{\textbf{x}\sim P_G(\textbf{x})}[log(1-D(\textbf{x}))] \qquad \text{(公式2)}Ex∼PG​(x)​[log(1−D(x))](公式2)
  • 后来又提出了一个改进的【生成器】损失函数：
    Ex∼PG(x)[log(−D(x))](公式3)\mathbb{E}_{\textbf{x}\sim P_G(\textbf{x})}[log(-D(\textbf{x}))] \qquad \text{(公式3)}Ex∼PG​(x)​[log(−D(x))](公式3)

2、第一种原始GAN形式的问题

  • 一句话概括：【判别器】越好，【生成器】梯度消失越严重。WGAN前作从两个角度进行了论证，第一个角度是从【生成器】的等价损失函数切入的。
  • 首先从公式1可以得到，在【生成器】G固定参数时最优的【判别器】D应该是什么。对于一个具体的样本 x\textbf{x}x，它可能来自真实分布也可能来自生成分布，它对公式1损失函数的贡献是
    −Pdata(x)logD(x)−PG(x)log(1−D(x))-P_{data}(\textbf{x})logD(\textbf{x})-P_G(\textbf{x})log(1-D(\textbf{x}))−Pdata​(x)logD(x)−PG​(x)log(1−D(x))
  • 令其关于D(x)D(x)D(x) 的导数为0，得
    Pdata(x)D(x)+PG(x)1−D(x)=0\cfrac{P_{data}(x)}{D(x)} + \cfrac{P_G(x)}{1 - D(x)} = 0D(x)Pdata​(x)​+1−D(x)PG​(x)​=0
  • 化简得最优【判别器】为：
    D∗(x)=Pdata(x)Pdata(x)+PG(x)（公式4）D^*(x) = \cfrac{P_{data}(x)}{P_{data}(x) + P_G(x)}（公式4）D∗(x)=Pdata​(x)+PG​(x)Pdata​(x)​（公式4）
  • 这个结果从直观上很容易理解，就是看一个样本 xxx 来自真实分布和生成分布的可能性的相对比例。如果 Pdata(x)=0P_{data}(x) = 0Pdata​(x)=0 且 PG(x)≠0P_G(x)≠0PG​(x)​=0，最优【判别器】就应该非常自信地给出概率0；如果 Pdata(x)=PG(x)P_{data}(x) = P_G(x)Pdata​(x)=PG​(x)，说明该样本是真是假的可能性刚好一半一半，此时最优【判别器】也应该给出概率0.5。
  • 然而GAN训练有一个trick，就是别把【判别器】训练得太好，否则在实验中【生成器】会完全学不动（loss降不下去），为了探究背后的原因，我们就可以看看在极端情况——【判别器】最优时，【生成器】的损失函数变成什么。给【生成器】的损失函数(公式2)加上一个不依赖于【生成器】的项，使之变成
    Ex∼Pdata[log⁡D(x)]+Ex∼PG[log⁡(1−D(x))]\mathbb{E}_{x\sim P_{data}}[\log D(x)] + \mathbb{E}_{x\sim P_G}[\log(1-D(x))]Ex∼Pdata​​[logD(x)]+Ex∼PG​​[log(1−D(x))]
  • 注意，最小化这个函数等价于最小化【生成器】的损失函数(公式2)，而且它刚好是【判别器】损失函数的反。代入最优【判别器】即公式4，再进行简单的变换可以得到【生成器】的损失函数为：
    Ex∼Pdatalog⁡Pdata(x)12[Pdata(x)+PG(x)]+Ex∼PGlog⁡PG(x)12[Pdata(x)+PG(x)]−2log⁡2（公式5)\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} \log \cfrac{P_{data}(x)}{\cfrac{1}{2}[P_{data}(x) + P_G(x)]} + \mathbb{E}_{x \sim P_G} \log \cfrac{P_G(x)}{\cfrac{1}{2}[P_{data}(x) + P_G(x)]} - 2\log 2（公式5)Ex∼Pdata​​log21​[Pdata​(x)+PG​(x)]Pdata​(x)​+Ex∼PG​​log21​[Pdata​(x)+PG​(x)]PG​(x)​−2log2（公式5)
  • 变换成这个样子是为了引入Kullback–Leibler divergence（简称KL散度）和Jensen-Shannon divergence（简称JS散度）这两个重要的相似度衡量指标，后面的主角之一Wasserstein距离，就是要来吊打它们两个的。所以接下来介绍这两个重要的配角——KL散度和JS散度：
    KL(P1∣∣P2)=Ex∼P1log⁡P1P2（公式6）KL(P_1||P_2) = \mathbb{E}_{x \sim P_1} \log \cfrac{P_1}{P_2}（公式6）KL(P1​∣∣P2​)=Ex∼P1​​logP2​P1​​（公式6）
    JS(P1∣∣P2)=12KL(P1∣∣P1+P22)+12KL(P2∣∣P1+P22)（公式7）JS(P_1 || P_2) = \cfrac{1}{2}KL(P_1||\cfrac{P_1 + P_2}{2}) + \cfrac{1}{2}KL(P_2||\cfrac{P_1 + P_2}{2})（公式7）JS(P1​∣∣P2​)=21​KL(P1​∣∣2P1​+P2​​)+21​KL(P2​∣∣2P1​+P2​​)（公式7）
  • 于是【生成器】的损失函数(公式5)就可以继续写成
    2JS(Pdata∣∣PG)−2log⁡2（公式8）2JS(P_{data} || P_G) - 2\log 2（公式8）2JS(Pdata​∣∣PG​)−2log2（公式8）
  • 到这里读者可以先喘一口气，看看目前得到了什么结论：根据原始GAN定义的【判别器】loss，我们可以得到最优【判别器】的形式；而在最优【判别器】的下，我们可以把原始GAN定义的【生成器】loss等价变换为最小化真实分布 PdataP_{data}Pdata​ 与生成分布 PGP_GPG​ 之间的JS散度。我们越训练【判别器】，它就越接近最优，最小化【生成器】的loss也就会越近似于最小化 PdataP_{data}Pdata​ 和 PGP_GPG​ 之间的JS散度。
  • 问题就出在这个JS散度上。我们会希望如果两个分布之间越接近它们的JS散度越小，我们通过优化JS散度就能将 PGP_GPG​ “拉向” PdataP_{data}Pdata​，最终以假乱真。这个希望在两个分布有所重叠的时候是成立的，但是如果两个分布完全没有重叠的部分，或者它们重叠的部分可忽略（下面解释什么叫可忽略），它们的JS散度是多少呢？
  • 答案是 log⁡2\log 2log2，因为对于任意一个 xxx 只有四种可能：
    P1(x)=0且P2(x)=0P_1(x) = 0且P_2(x) = 0P1​(x)=0且P2​(x)=0
    P1(x)≠0且P2(x)≠0P_1(x) \neq 0且P_2(x) \neq 0P1​(x)​=0且P2​(x)​=0
    P1(x)=0且P2(x)≠0P_1(x) = 0且P_2(x) \neq 0P1​(x)=0且P2​(x)​=0
    P1(x)≠0且P2(x)=0P_1(x) \neq 0且P_2(x) = 0P1​(x)​=0且P2​(x)=0
  • 第一种对计算JS散度无贡献，第二种情况由于重叠部分可忽略所以贡献也为0，第三种情况对公式7右边第一个项的贡献是 log⁡P212(P2+0)=log⁡2\log \cfrac{P_2}{\cfrac{1}{2}(P_2 + 0)} = \log 2log21​(P2​+0)P2​​=log2，第四种情况与之类似，所以最终JS(P1∣∣P2)=log⁡2JS(P_1||P_2) = \log 2JS(P1​∣∣P2​)=log2。
  • 换句话说，无论 PdataP_{data}Pdata​ 跟 PGP_GPG​ 是远在天边，还是近在眼前，只要它们俩没有一点重叠或者重叠部分可忽略，JS散度就固定是常数 log⁡2\log 2log2，而这对于梯度下降方法意味着——梯度为0！此时对于最优【判别器】来说，【生成器】肯定是得不到一丁点梯度信息的；即使对于接近最优的【判别器】来说，【生成器】也有很大机会面临梯度消失的问题。
  • 但是 PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 不重叠或重叠部分可忽略的可能性有多大？不严谨的答案是：非常大。比较严谨的答案是：当 PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 的支撑集（support）是高维空间中的低维流形（manifold）时，PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 重叠部分测度（measure）为0的概率为1。
  • 不用被奇怪的术语吓得关掉页面，虽然论文给出的是严格的数学表述，但是直观上其实很容易理解。首先简单介绍一下这几个概念：
    • 支撑集（support）其实就是函数的非零部分子集，比如ReLU函数的支撑集就是(0, +∞+\infty+∞)，一个概率分布的支撑集就是所有概率密度非零部分的集合。
    • 流形（manifold）是高维空间中曲线、曲面概念的拓广，我们可以在低维上直观理解这个概念，比如我们说三维空间中的一个曲面是一个二维流形，因为它的本质维度（intrinsic dimension）只有2，一个点在这个二维流形上移动只有两个方向的自由度。同理，三维空间或者二维空间中的一条曲线都是一个一维流形。
    • 测度（measure）是高维空间中长度、面积、体积概念的拓广，可以理解为“超体积”。
  • 回过头来看第一句话，“当 PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 的支撑集是高维空间中的低维流形时”，基本上是成立的。原因是GAN中的【生成器】一般是从某个低维（比如100维）的随机分布中采样出一个编码向量，再经过一个神经网络生成出一个高维样本（比如64x64的图片就有4096维）。当【生成器】的参数固定时，生成样本的概率分布虽然是定义在4096维的空间上，但它本身所有可能产生的变化已经被那个100维的随机分布限定了，其本质维度就是100，再考虑到神经网络带来的映射降维，最终可能比100还小，所以生成样本分布的支撑集就在4096维空间中构成一个最多100维的低维流形，“撑不满”整个高维空间。
  • “撑不满”就会导致真实分布与生成分布难以“碰到面”，这很容易在二维空间中理解：

    一方面，二维平面中随机取两条曲线，它们之间刚好存在重叠线段的概率为0；另一方面，虽然它们很大可能会存在交叉点，但是相比于两条曲线而言，交叉点比曲线低一个维度，长度（测度）为0，可忽略。三维空间中也是类似的，随机取两个曲面，它们之间最多就是比较有可能存在交叉线，但是交叉线比曲面低一个维度，面积（测度）是0，可忽略。从低维空间拓展到高维空间，就有了如下逻辑：因为一开始【生成器】随机初始化，所以PGP_GPG​几乎不可能与PdataP_{data}Pdata​有什么关联，所以它们的支撑集之间的重叠部分要么不存在，要么就比PdataP_{data}Pdata​和PGP_GPG​的最小维度还要低至少一个维度，故而测度为0。所谓“重叠部分测度为0”，就是上文所言“不重叠或者重叠部分可忽略”的意思。
  • 我们就得到了WGAN前作中关于【生成器】梯度消失的第一个论证：在（近似）最优【判别器】下，最小化【生成器】的loss等价于最小化 PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​之间的JS散度，而由于 PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 几乎不可能有不可忽略的重叠，所以无论它们相距多远JS散度都是常数 log⁡2\log 2log2，最终导致【生成器】的梯度（近似）为0，梯度消失。
  • 接着作者写了很多公式定理从第二个角度进行论证，但是背后的思想也可以直观地解释：
    • 首先，PdataP_{data}Pdata​ 与 PGP_GPG​ 之间几乎不可能有不可忽略的重叠，所以无论它们之间的“缝隙”多狭小，都肯定存在一个最优分割曲面把它们隔开，最多就是在那些可忽略的重叠处隔不开而已。
    • 由于【判别器】作为一个神经网络可以无限拟合这个分隔曲面，所以存在一个最优【判别器】，对几乎所有真实样本给出概率1，对几乎所有生成样本给出概率0，而那些隔不开的部分就是难以被最优【判别器】分类的样本，但是它们的测度为0，可忽略。
    • 最优【判别器】在真实分布和生成分布的支撑集上给出的概率都是常数（1和0），导致【生成器】的loss梯度为0，梯度消失。
  • 有了这些理论分析，原始GAN不稳定的原因就彻底清楚了：【判别器】训练得太好，【生成器】梯度消失，【生成器】loss降不下去；【判别器】训练得不好，【生成器】梯度不准，四处乱跑。只有【判别器】训练得不好不坏才行，但是这个火候又很难把握，甚至在同一轮训练的前后不同阶段这个火候都可能不一样，所以GAN才那么难训练。
  • 实验辅证如下图，WGAN前作Figure 2。先分别将DCGAN训练1，20，25个epoch，然后固定【生成器】不动，【判别器】重新随机初始化从头开始训练，对于第一种形式的【生成器】loss产生的梯度可以打印出其尺度的变化曲线，可以看到随着【判别器】的训练，【生成器】的梯度均迅速衰减。注意y轴是对数坐标轴。

3、第二种原始GAN形式的问题

  • 一句话概括：最小化第二种【生成器】loss函数，会等价于最小化一个不合理的距离衡量，导致两个问题，一是梯度不稳定，二是collapse mode即多样性不足。WGAN前作又是从两个角度进行了论证，下面只说第一个角度，因为对于第二个角度我难以找到一个直观的解释方式，感兴趣的读者还是去看论文。
  • 如前文所说，Ian Goodfellow提出的“- log D trick”是把【生成器】loss改成
    Ex∼PG[−log⁡D(x)]（公式3）\mathbb{E}_{x\sim P_G}[- \log D(x)]（公式3）Ex∼PG​​[−logD(x)]（公式3）
  • 上文推导已经得到在最优【判别器】 D∗D^*D∗ 下
    Ex∼Pdata[log⁡D∗(x)]+Ex∼PG[log⁡(1−D∗(x))]=2JS(Pdata∣∣PG)−2log⁡2（公式9）\mathbb{E}_{x\sim P_{data}}[\log D^*(x)] + \mathbb{E}_{x\sim P_G}[\log(1-D^*(x))] = 2JS(P_{data} || P_G) - 2\log 2（公式9）Ex∼Pdata​​[logD∗(x)]+Ex∼PG​​[log(1−D∗(x))]=2JS(Pdata​∣∣PG​)−2log2（公式9）
  • 我们可以把KL散度（注意下面是先G后data）变换成含 D∗D^*D∗ 的形式：
    KL(PG∣∣Pdata)=Ex∼PG[log⁡PG(x)Pdata(x)]=Ex∼PG[log⁡PG(x)/(Pdata(x)+PG(x))Pdata(x)/(Pdata(x)+PG(x))]（公式10）=Ex∼PG[log⁡1−D∗(x)D∗(x)]=Ex∼PGlog⁡[1−D∗(x)]−Ex∼PGlog⁡D∗(x)\begin{aligned} KL(P_G || P_{data}) &= \mathbb{E}_{x \sim P_G} [\log \cfrac{P_G(x)}{P_{data}(x)}] \\ &= \mathbb{E}_{x \sim P_G} [\log \cfrac{P_G(x) / (P_{data}(x) + P_G(x))}{P_{data}(x) / (P_{data}(x) + P_G(x))}] \quad（公式10）\\ &= \mathbb{E}_{x \sim P_G} [\log \cfrac{1 - D^*(x)}{D^*(x)}] \\ &= \mathbb{E}_{x \sim P_G} \log [1 - D^*(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} \log D^*(x) \end{aligned} KL(PG​∣∣Pdata​)​=Ex∼PG​​[logPdata​(x)PG​(x)​]=Ex∼PG​​[logPdata​(x)/(Pdata​(x)+PG​(x))PG​(x)/(Pdata​(x)+PG​(x))​]（公式10）=Ex∼PG​​[logD∗(x)1−D∗(x)​]=Ex∼PG​​log[1−D∗(x)]−Ex∼PG​​logD∗(x)​
  • 由公式3，9，10可得最小化目标的等价变形
    Ex∼PG[−log⁡D∗(x)]=KL(PG∣∣Pdata)−Ex∼PGlog⁡[1−D∗(x)]=KL(PG∣∣Pdata)−2JS(Pdata∣∣PG)+2log⁡2+Ex∼Pdata[log⁡D∗(x)]\begin{aligned} \mathbb{E}_{x \sim P_G} [-\log D^*(x)] &= KL(P_G || P_{data}) - \mathbb{E}_{x \sim P_G} \log [1 - D^*(x)] \\ &= KL(P_G || P_{data}) - 2JS(P_{data} || P_G) + 2\log 2 + \mathbb{E}_{x\sim P_{data}}[\log D^*(x)] \end{aligned}Ex∼PG​​[−logD∗(x)]​=KL(PG​∣∣Pdata​)−Ex∼PG​​log[1−D∗(x)]=KL(PG​∣∣Pdata​)−2JS(Pdata​∣∣PG​)+2log2+Ex∼Pdata​​[logD∗(x)]​
  • 注意上式最后两项不依赖于【生成器】G，最终得到最小化公式3等价于最小化
    KL(PG∣∣Pdata)−2JS(Pdata∣∣PG)（公式11）KL(P_G || P_{data}) - 2JS(P_{data} || P_G)（公式11）KL(PG​∣∣Pdata​)−2JS(Pdata​∣∣PG​)（公式11）
  • 这个等价最小化目标存在两个严重的问题。第一是它同时要最小化生成分布与真实分布的KL散度，却又要最大化两者的JS散度，一个要拉近，一个却要推远！这在直观上非常荒谬，在数值上则会导致梯度不稳定，这是后面那个JS散度项的毛病。
  • 第二，即便是前面那个正常的KL散度项也有毛病。因为KL散度不是一个对称的衡量，KL(PG∣∣Pdata)KL(P_G || P_{data})KL(PG​∣∣Pdata​) 与 KL(Pdata∣∣PG)KL(P_{data} || P_G)KL(Pdata​∣∣PG​) 是有差别的。以前者为例
    • 当 PG(x)→0P_G(x)\rightarrow 0PG​(x)→0而 Pdata(x)→1P_{data}(x)\rightarrow 1Pdata​(x)→1 时，PG(x)log⁡PG(x)Pdata(x)→0P_G(x) \log \cfrac{P_G(x)}{P_{data}(x)} \rightarrow 0PG​(x)logPdata​(x)PG​(x)​→0，对 KL(PG∣∣Pdata)KL(P_G || P_{data})KL(PG​∣∣Pdata​) 贡献趋近0
    • 当 PG(x)→1P_G(x)\rightarrow 1PG​(x)→1而 Pdata(x)→0P_{data}(x)\rightarrow 0Pdata​(x)→0 时，PG(x)log⁡PG(x)Pdata(x)→+∞P_G(x) \log \cfrac{P_G(x)}{P_{data}(x)} \rightarrow +\inftyPG​(x)logPdata​(x)PG​(x)​→+∞，对 KL(PG∣∣Pdata)KL(P_G || P_{data})KL(PG​∣∣Pdata​) 贡献趋近正无穷
  • 换言之，KL(PG∣∣Pdata)KL(P_G || P_{data})KL(PG​∣∣Pdata​) 对于上面两种错误的惩罚是不一样的，第一种错误对应的是“【生成器】没能生成真实的样本”，惩罚微小；第二种错误对应的是“【生成器】生成了不真实的样本” ，惩罚巨大。第一种错误对应的是缺乏多样性，第二种错误对应的是缺乏准确性。这一放一打之下，【生成器】宁可多生成一些重复但是很“安全”的样本，也不愿意去生成多样性的样本，因为那样一不小心就会产生第二种错误，得不偿失。这种现象就是大家常说的collapse mode。

4、原始GAN问题小结

  • 在原始GAN的（近似）最优【判别器】下，第一种【生成器】loss面临梯度消失问题，第二种【生成器】loss面临优化目标荒谬、梯度不稳定、对多样性与准确性惩罚不平衡导致mode collapse这几个问题。
  • 实验辅证如下图，WGAN前作Figure 3。先分别将DCGAN训练1，20，25个epoch，然后固定【生成器】不动，【判别器】重新随机初始化从头开始训练，对于第二种形式的【生成器】loss产生的梯度可以打印出其尺度的变化曲线，可以看到随着【判别器】的训练，蓝色和绿色曲线中【生成器】的梯度迅速增长，说明梯度不稳定，红线对应的是DCGAN相对收敛的状态，梯度才比较稳定。

三、WGAN之前的一个过渡解决方案

  • 原始GAN问题的根源可以归结为两点，一是等价优化的距离衡量（KL散度、JS散度）不合理，二是【生成器】随机初始化后的生成分布很难与真实分布有不可忽略的重叠。
  • WGAN前作其实已经针对第二点提出了一个解决方案，就是对生成样本和真实样本加噪声，直观上说，使得原本的两个低维流形“弥散”到整个高维空间，强行让它们产生不可忽略的重叠。而一旦存在重叠，JS散度就能真正发挥作用，此时如果两个分布越靠近，它们“弥散”出来的部分重叠得越多，JS散度也会越小而不会一直是一个常数，于是（在第一种原始GAN形式下）梯度消失的问题就解决了。在训练过程中，我们可以对所加的噪声进行退火（annealing），慢慢减小其方差，到后面两个低维流形“本体”都已经有重叠时，就算把噪声完全拿掉，JS散度也能照样发挥作用，继续产生有意义的梯度把两个低维流形拉近，直到它们接近完全重合。以上是对原文的直观解释。
  • 在这个解决方案下我们可以放心地把【判别器】训练到接近最优，不必担心梯度消失的问题。而当【判别器】最优时，对公式9取反可得【判别器】的最小loss为
    min⁡LD(Pdata+ϵ,PG+ϵ)=−Ex∼Pdata+ϵ[log⁡D∗(x)]−Ex∼Pg+ϵ[log⁡(1−D∗(x))]=2log⁡2−2JS(Pdata+ϵ∣∣PG+ϵ)\begin{aligned} \min L_D(P_{data+\epsilon}, P_{G+\epsilon}) &= - \mathbb{E}_{x\sim P_{data+\epsilon}}[\log D^*(x)] - \mathbb{E}_{x\sim P_{g+\epsilon}}[\log(1-D^*(x))] \\ &= 2\log 2 - 2JS(P_{data+\epsilon} || P_{G+\epsilon}) \end{aligned}minLD​(Pdata+ϵ​,PG+ϵ​)​=−Ex∼Pdata+ϵ​​[logD∗(x)]−Ex∼Pg+ϵ​​[log(1−D∗(x))]=2log2−2JS(Pdata+ϵ​∣∣PG+ϵ​)​
  • 其中 Pdata+ϵP_{data+\epsilon}Pdata+ϵ​ 和 PG+ϵP_{G+\epsilon}PG+ϵ​ 分别是加噪后的真实分布与生成分布。反过来说，从最优【判别器】的loss可以反推出当前两个加噪分布的JS散度。两个加噪分布的JS散度可以在某种程度上代表两个原本分布的距离，也就是说可以通过最优【判别器】的loss反映训练进程！……真的有这样的好事吗？
  • 并没有，因为加噪JS散度的具体数值受到噪声的方差影响，随着噪声的退火，前后的数值就没法比较了，所以它不能成为 PdataP_{data}Pdata​ 和 PGP_GPG​ 距离的本质性衡量。
  • 因为本文的重点是WGAN本身，所以WGAN前作的加噪方案简单介绍到这里，感兴趣的读者可以阅读原文了解更多细节。加噪方案是针对原始GAN问题的第二点根源提出的，解决了训练不稳定的问题，不需要小心平衡【判别器】训练的火候，可以放心地把【判别器】训练到接近最优，但是仍然没能够提供一个衡量训练进程的数值指标。但是WGAN本作就从第一点根源出发，用Wasserstein距离代替JS散度，同时完成了稳定训练和进程指标的问题！

四、Wasserstein Distance/Wasserstein距离\text{Wasserstein Distance/Wasserstein距离}Wasserstein Distance/Wasserstein距离

  • KL散度和JS散度度量的问题：如果两个分配P,Q离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为0。梯度消失了。
  • Wasserstein距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下
    W(Pdata,PG)=inf⁡γ∼Π(Pdata,PG)E(x,y)∼γ[∣∣x−y∣∣]（公式12）W(P_{data}, P_G) = \inf_{\gamma \sim \Pi (P_{data}, P_G)} \mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma} [||x - y||]（公式12）W(Pdata​,PG​)=γ∼Π(Pdata​,PG​)inf​E(x,y)∼γ​[∣∣x−y∣∣]（公式12）
  • Π(Pdata,PG)\Pi (P_{data}, P_G)Π(Pdata​,PG​) 是 PdataP_{data}Pdata​ 和 PGP_GPG​ 组合起来的所有可能的联合分布的集合，反过来说，Π(Pdata,PG)\Pi (P_{data}, P_G)Π(Pdata​,PG​) 中每一个分布的边缘分布都是 PdataP_{data}Pdata​ 和 PGP_GPG​。
  • 对于每一个可能的联合分布 γ\gammaγ 而言，可以从中采样 (x,y)∼γ(x, y) \sim \gamma(x,y)∼γ 得到一个真实样本 xxx 和一个生成样本 yyy，并算出这对样本的距离 ∣∣x−y∣∣||x-y||∣∣x−y∣∣，所以可以计算该联合分布 γ\gammaγ 下样本对距离的期望值 E(x,y)∼γ[∣∣x−y∣∣]\mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma} [||x - y||]E(x,y)∼γ​[∣∣x−y∣∣]。
  • 在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界 inf⁡γ∼Π(Pdata,PG)E(x,y)∼γ[∣∣x−y∣∣]\inf_{\gamma \sim \Pi (P_{data}, P_G)} \mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma} [||x - y||]infγ∼Π(Pdata​,PG​)​E(x,y)∼γ​[∣∣x−y∣∣]，就定义为Wasserstein距离。
  • 直观上可以把 E(x,y)∼γ[∣∣x−y∣∣]\mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma} [||x - y||]E(x,y)∼γ​[∣∣x−y∣∣] 理解为在 γ\gammaγ 这个“路径规划”下把PdataP_{data}Pdata​ 这堆“沙土”挪到 PGP_GPG​ “位置”所需的“消耗”，而 W(Pdata,PG)W(P_{data}, P_G)W(Pdata​,PG​) 就是“最优路径规划”下的“最小消耗”，所以才叫Earth-Mover（推土机）距离。
  • Wasserstein距离相比KL散度、JS散度的优越性在于，即便两个分布没有重叠，Wasserstein距离仍然能够反映它们的远近。WGAN本作通过简单的例子展示了这一点。考虑如下二维空间中的两个分布 P1P_1P1​ 和P2P_2P2​，P1P_1P1​在线段AB上均匀分布，P2P_2P2​在线段CD上均匀分布，通过控制参数 θ\thetaθ 可以控制着两个分布的距离远近。
  • 此时容易得到（读者可自行验证）
    KL(P1∣∣P2)=KL(P1∣∣P2)={+∞if θ≠00if θ=0（突变）JS(P1∣∣P2)={log⁡2if θ≠00if θ−0（突变）W(P0,P1)=∣θ∣（平滑）KL(P_1 || P_2) = KL(P_1 || P_2) = \begin{cases} +\infty & \text{if $\theta \neq 0$} \\ 0 & \text{if $\theta = 0$} \end{cases}（突变）\\[2ex] JS(P_1||P_2)= \begin{cases} \log 2 & \text{if $\theta \neq 0$} \\ 0 & \text{if $\theta - 0$} \end{cases}（突变）\\[2ex] W(P_0, P_1) = |\theta|（平滑） KL(P1​∣∣P2​)=KL(P1​∣∣P2​)={+∞0​if θ​=0if θ=0​（突变）JS(P1​∣∣P2​)={log20​if θ​=0if θ−0​（突变）W(P0​,P1​)=∣θ∣（平滑）
  • KL散度和JS散度是突变的，要么最大要么最小，Wasserstein距离却是平滑的，如果我们要用梯度下降法优化 θ\thetaθ 这个参数，前两者根本提供不了梯度，Wasserstein距离却可以。类似地，在高维空间中如果两个分布不重叠或者重叠部分可忽略，则KL和JS既反映不了远近，也提供不了梯度，但是Wasserstein却可以提供有意义的梯度。

五、从Wasserstein距离到WGAN

  • 既然Wasserstein距离有如此优越的性质，如果我们能够把它定义为【生成器】的loss，不就可以产生有意义的梯度来更新【生成器】，使得生成分布被拉向真实分布吗？
  • 没那么简单，因为Wasserstein距离定义（公式12）中的 inf⁡γ∼Π(Pdata,PG)\inf_{\gamma \sim \Pi (P_{data}, P_G)}infγ∼Π(Pdata​,PG​)​ 没法直接求解，不过没关系，作者用了一个已有的定理把它变换为如下形式
    W(Pdata,PG)=1Ksup⁡∣∣D∣∣L≤KEx∼Pdata[D(x)]−Ex∼PG[D(x)]（公式13）W(P_{data}, P_G) = \cfrac{1}{K} \sup_{||D||_L \leq K} \mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D(x)]（公式13）W(Pdata​,PG​)=K1​∣∣D∣∣L​≤Ksup​Ex∼Pdata​​[D(x)]−Ex∼PG​​[D(x)]（公式13）

    • 公式13必须满足 D(x)∈Lipschitz连续函数D(x)∈Lipschitz连续函数D(x)∈Lipschitz连续函数
      ∣D(x1)−D(x2)∣≤K∣x1−x2∣\color{violet}{|D(x_1) - D(x_2)| \leq K |x_1 - x_2|}∣D(x1​)−D(x2​)∣≤K∣x1​−x2​∣
    • Lipschitz连续性限制其实就是在一个连续函数 DDD 上面额外施加了一个限制，要求存在一个常数 K≥0K\geq 0K≥0 使得定义域内的任意两个元素 x1x_1x1​ 和 x2x_2x2​ 都满足
    • 此时称函数 DDD 的Lipschitz常数为 KKK。当 K=1K=1K=1 时，为“1-Lipschitz”。
    • 简单理解，比如说 DDD 的定义域是实数集合，那上面的要求就等价于 DDD 的导函数绝对值不超过 KKK
    • 再比如说 log⁡(x)\log (x)log(x) 就不是Lipschitz连续，因为它的导函数没有上界。Lipschitz连续条件限制了一个连续函数的最大局部变动幅度。
    • 在实践中，使用 “Weight Clipping” 的技巧来实现 Lipschitz限制要求：Force the parameters w between c and -c. After parameter update, if w > c, w = c; if w < -c, w = -c
  • 公式13的意思就是在要求函数 DDD 的Lipschitz常数 ∣∣D∣∣L||D||_L∣∣D∣∣L​不超过 KKK 的条件下，对所有可能满足条件的 DDD 取到 Ex∼Pdata[D(x)]−Ex∼PG[D(x)]\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D(x)]Ex∼Pdata​​[D(x)]−Ex∼PG​​[D(x)]的上界，然后再除以 KKK。
  • 特别地，我们可以用一组参数 www 来定义一系列可能的函数 DwD_wDw​，此时求解公式13可以近似变成求解如下形式
    K⋅W(Pdata,PG)≈max⁡w:∣Dw∣L≤KEx∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]（公式14）K \cdot W(P_{data}, P_G) \approx \max_{w: |D_w|_L \leq K} \mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]（公式14）K⋅W(Pdata​,PG​)≈w:∣Dw​∣L​≤Kmax​Ex∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)]（公式14）
  • 再用上我们搞深度学习的人最熟悉的那一套，不就可以把 DDD 用一个带参数 www 的神经网络来表示嘛！由于神经网络的拟合能力足够强大，我们有理由相信，这样定义出来的一系列 DwD_wDw​ 虽然无法囊括所有可能，但是也足以高度近似公式13要求的那个 sup∣∣D∣∣L≤Ksup_{||D||_L \leq K}sup∣∣D∣∣L​≤K​了。
  • 最后，还不能忘了满足公式14中 ∣∣Dw∣∣L≤K||D_w||_L \leq K∣∣Dw​∣∣L​≤K 这个限制。我们其实不关心具体的 KKK 是多少，只要它不是正无穷就行，因为 KKK 只是会使得梯度变大 KKK 倍，并不会影响梯度的方向。所以作者采取了一个非常简单的做法，就是限制神经网络 DθD_\thetaDθ​ 的所有参数 wiw_iwi​ 的不超过某个范围 [−c,c][-c, c][−c,c]，比如 wi∈[−0.01,0.01]w_i \in [- 0.01, 0.01]wi​∈[−0.01,0.01]，此时关于输入样本 xxx 的导数 ∂Dw∂x\cfrac{\partial D_w}{\partial x}∂x∂Dw​​ 也不会超过某个范围，所以一定存在某个不知道的常数 KKK 使得 DwD_wDw​ 的局部变动幅度不会超过它，Lipschitz连续条件得以满足。具体在算法实现中，只需要每次更新完 www后把它clip回这个范围就可以了。
  • 到此为止，我们可以构造一个含参数 www、最后一层不是非线性激活层的【判别器】网络 DwD_wDw​，在限制 www 不超过某个范围的条件下，使得 L=Ex∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]L = \mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]L=Ex∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)] 尽可能取到最大，此时 LLL 就会近似真实分布与生成分布之间的Wasserstein距离（常数倍数K=1K=1K=1）。
    L=max⁡Dw∈1−Lipschitz{Ex∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]}（公式15）\color{red}{L = \max_{D_w∈1-Lipschitz} \{\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]\}}（公式15）L=Dw​∈1−Lipschitzmax​{Ex∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)]}（公式15）
    注意原始GAN的【判别器】做的是真假二分类任务，所以最后一层是sigmoid，但是现在WGAN中的【判别器】 DwD_wDw​ 做的是近似拟合Wasserstein距离，属于回归任务，所以WGAN要把最后一层的sigmoid拿掉。
  • 接下来【生成器】要近似地最小化Wasserstein距离，可以最小化 LLL，由于Wasserstein距离的优良性质，我们不需要担心【生成器】梯度消失的问题。再考虑到 LLL 的第一项与【生成器】无关，就得到了WGAN的两个Loss。
    1. WGAN【生成器】Loss函数：−Ex∼PG[Dw(x)](公式16)- \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)] \quad \text{(公式16)}−Ex∼PG​​[Dw​(x)](公式16)
    2. WGAN【判别器】Loss函数：Ex∼PG[Dw(x)]−Ex∼Pdata[Dw(x)](公式17)\mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]- \mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] \quad \text{(公式17)}Ex∼PG​​[Dw​(x)]−Ex∼Pdata​​[Dw​(x)](公式17)
  • 公式15是公式17的反，可以指示训练进程，其数值越小，表示真实分布与生成分布的Wasserstein距离越小，GAN训练得越好。
  • WGAN完整的算法流程

  • 上文说过，WGAN与原始GAN第一种形式相比，只改了四点：
    1. 【判别器】最后一层去掉sigmoid
    2. 【生成器】和【判别器】的loss不取log
    3. 使用 “Weight Clipping” 技巧来模拟 Lipschitz限制要求：每次更新【判别器】的参数之后把它们的绝对值截断到不超过一个固定常数c(注：实际上“Weight Clipping” 技巧的效果不太好)。
    4. 不要用基于动量的优化算法（包括momentum和Adam），推荐RMSProp，SGD也行
  • 前三点都是从理论分析中得到的，已经介绍完毕；第四点却是作者从实验中发现的，属于trick，相对比较“玄”。作者发现如果使用Adam，【判别器】的loss有时候会崩掉，当它崩掉时，Adam给出的更新方向与梯度方向夹角的cos值就变成负数，更新方向与梯度方向南辕北辙，这意味着【判别器】的loss梯度是不稳定的，所以不适合用Adam这类基于动量的优化算法。作者改用RMSProp之后，问题就解决了，因为RMSProp适合梯度不稳定的情况。
  • 对WGAN作者做了不少实验验证，本文只提比较重要的三点。
  • 第一，【判别器】所近似的Wasserstein距离与【生成器】的生成图片质量高度相关，如下所示（此即题图）：
  • 第二，WGAN如果用类似DCGAN架构，生成图片的效果与DCGAN差不多：

    但是厉害的地方在于WGAN不用DCGAN各种特殊的架构设计也能做到不错的效果，比如如果大家一起拿掉Batch Normalization的话，DCGAN就崩了：

    如果WGAN和原始GAN都使用多层全连接网络（MLP），不用CNN，WGAN质量会变差些，但是原始GAN不仅质量变得更差，而且还出现了collapse mode，即多样性不足：
  • 第三，在所有WGAN的实验中未观察到collapse mode，作者也只说应该是解决了，
  • 最后补充一点论文没提到，但是我个人觉得比较微妙的问题。【判别器】所近似的Wasserstein距离能够用来指示单次训练中的训练进程，这个没错；接着作者又说它可以用于比较多次训练进程，指引调参，我倒是觉得需要小心些。比如说我下次训练时改了【判别器】的层数、节点数等超参，【判别器】的拟合能力就必然有所波动，再比如说我下次训练时改了【生成器】两次迭代之间，【判别器】的迭代次数，这两种常见的变动都会使得Wasserstein距离的拟合误差就与上次不一样。那么这个拟合误差的变动究竟有多大，或者说不同的人做实验时【判别器】的拟合能力或迭代次数相差实在太大，那它们之间还能不能直接比较上述指标，我都是存疑的。
  • 进一步指出，相比于【判别器】迭代次数的改变，对【判别器】架构超参的改变会直接影响到对应的Lipschitz常数K，进而改变近似Wasserstein距离的倍数，前后两轮训练的指标就肯定不能比较了，这是需要在实际应用中注意的。对此我想到了一个工程化的解决方式，不是很优雅：取同样一对生成分布和真实分布，让前后两个不同架构的【判别器】各自拟合到收敛，看收敛到的指标差多少倍，可以近似认为是后面的K_2相对前面K_1的变化倍数，于是就可以用这个变化倍数校正前后两轮训练的指标。

六、WGAN总结

  • WGAN前作分析了Ian Goodfellow提出的原始GAN两种形式各自的问题，第一种形式等价在最优【判别器】下等价于最小化生成分布与真实分布之间的JS散度，由于随机生成分布很难与真实分布有不可忽略的重叠以及JS散度的突变特性，使得【生成器】面临梯度消失的问题；第二种形式在最优【判别器】下等价于既要最小化生成分布与真实分布直接的KL散度，又要最大化其JS散度，相互矛盾，导致梯度不稳定，而且KL散度的不对称性使得【生成器】宁可丧失多样性也不愿丧失准确性，导致collapse mode现象。
  • WGAN前作针对分布重叠问题提出了一个过渡解决方案，通过对生成样本和真实样本加噪声使得两个分布产生重叠，理论上可以解决训练不稳定的问题，可以放心训练【判别器】到接近最优，但是未能提供一个指示训练进程的可靠指标，也未做实验验证。
  • WGAN本作引入了Wasserstein距离，由于它相对KL散度与JS散度具有优越的平滑特性，理论上可以解决梯度消失问题。接着通过数学变换将Wasserstein距离写成可求解的形式，利用一个参数数值范围受限的【判别器】神经网络来最大化这个形式，就可以近似Wasserstein距离。在此近似最优【判别器】下优化【生成器】使得Wasserstein距离缩小，就能有效拉近生成分布与真实分布。WGAN既解决了训练不稳定的问题，也提供了一个可靠的训练进程指标，而且该指标确实与生成样本的质量高度相关。作者对WGAN进行了实验验证。

七、WGAN-GP(改进的WGAN)

1、WGAN存在的问题

  • WGAN虽然理论证明很完美，但真正的效果并没有很好。WGAN在真实的实验过程中依旧存在着训练困难、收敛速度慢的 问题，相比较传统GAN在实验上提升不是很明显。

1.1 WGAN问题01

  • WGAN存在问题的原因就是WGAN在处理Lipschitz限制条件时直接采用了 weight clipping，就是每当更新完一次判别器的参数之后，就检查判别器的所有参数的绝对值有没有超过一个阈值，比如0.01，有的话就把这些参数 clip回 [-0.01, 0.01] 范围内。通过在训练过程中保证判别器的所有参数有界，就保证了判别器不能对两个略微不同的样本在判别上不会差异过大，从而间接实现了Lipschitz限制。但是，实际训练上判别器loss希望尽可能拉大真假样本的分数差，然而weight clipping独立地限制每一个网络参数的取值范围，在这种情况下最优的策略就是尽可能让所有参数走极端，要么取最大值（如0.01）要么取最小值（如-0.01）。如下图所示判别器的参数几乎都集中在最大值和最小值上：

1.2 WGAN问题02

  • weight clipping会导致很容易一不小心就梯度消失或者梯度爆炸。原因是判别器是一个多层网络，如果把clipping threshold设得稍微小了一 点，每经过一层网络，梯度就变小一点点，多层之后就会指数衰减；反之，如果设得稍微大了一点，每经过一层网络，梯度变大一点点，多层之后就会指数爆 炸。只有设得不大不小，才能让生成器获得恰到好处的回传梯度，然而在实际应用中这个平衡区域可能很狭窄，就会给调参工作带来麻烦。下图中横轴代表判别器从低到高第几层，纵轴代表梯度回传到这一层之后的尺度大小（注意纵轴是对数刻度，c是clipping threshold）

2、WGAN-GP解决方案

  • 在以上问题提出后，作者提出了解决方案，那就是gradient penalty(梯度惩罚)。Lipschitz限制是要求判别器的梯度不超过K，gradient penalty 就是设置一个额外的Loss项来体现 “梯度” 与 “K” 之间的联系，比如：
    ReLU[∣∣∇xD(X)∣∣p−K]ReLU[||\nabla_x D(X)||_p-K]ReLU[∣∣∇x​D(X)∣∣p​−K]
  • 不过，既然判别器希望尽可能拉大真假样本的分数差距，自然是希望梯度越大越好，变化幅度越大越好，所以判别器在充分训练之后，其梯度norm其实就会在K附近。通过这一点可以把上面的Loss改成要求梯度norm离K越近越好：
    [∣∣∇xD(X)∣∣p−K]2[||\nabla_x D(X)||_p-K]^2[∣∣∇x​D(X)∣∣p​−K]2
  • 接着简单地把 KKK 定为1，
    [∣∣∇xD(X)∣∣p−1]2[||\nabla_x D(X)||_p-1]^2[∣∣∇x​D(X)∣∣p​−1]2
  • 再跟WGAN原来的判别器损失函数 L=max⁡Dw∈1−Lipschitz{Ex∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]}（公式15）L = \max_{D_w∈1-Lipschitz} \{\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]\}（公式15）L=maxDw​∈1−Lipschitz​{Ex∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)]}（公式15）加权合并，就得到新的判别器Loss:
    −L=max⁡Dw∈1−Lipschitz{Ex∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]⏟Original Critic Loss−λEx∼Ppenalty[∣∣∇xD(X)∣∣p−1]2⏟Gradient Penalty}\color{red}{-L = \max_{D_w∈1-Lipschitz} \{\underbrace{\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]}_{\text{Original\ Critic\ Loss}}-\underbrace{λ\mathbb{E}_{x\sim P_{penalty}}[||\nabla_x D(X)||_p-1]^2}_{\text{Gradient\ Penalty}}\}}−L=Dw​∈1−Lipschitzmax​{Original Critic LossEx∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)]​​−Gradient PenaltyλEx∼Ppenalty​​[∣∣∇x​D(X)∣∣p​−1]2​​}

2.1 Gradient Penalty方法

  • 论文中作者提出，其实没必要在整个样本空间上施加Lipschitz限制，只要重点抓住生成样本集中区域、真实样本集中区域以及夹在它们中间的区域就行了。
  • 具体地，先随机采样一对真假样本，还有一个 [0,1] 之间的随机数：
    xdata∼Pdata，xG∼PG，ε∼Uniform[0,1]x_{data}\sim P_{data}，x_G\sim P_G，ε\sim Uniform[0,1]xdata​∼Pdata​，xG​∼PG​，ε∼Uniform[0,1]
  • 然后在 xdatax_{data}xdata​ 和 xGx_GxG​ 的连线上随机插值采样：
    xpenalty=εxdata+(1−ε)xGx_{penalty}=εx_{data}+(1-ε)x_Gxpenalty​=εxdata​+(1−ε)xG​
  • 把按照上述流程采样得到的 xpenaltyx_{penalty}xpenalty​ 所满足的分布记为 PpenaltyP_{penalty}Ppenalty​，得到最终版本的判别器Loss:
    −L=max⁡Dw∈1−Lipschitz{Ex∼Pdata[Dw(x)]−Ex∼PG[Dw(x)]⏟Original Critic Loss−λEx∼Ppenalty[∣∣∇xD(X)∣∣p−1]2⏟Gradient Penalty}\color{red}{-L = \max_{D_w∈1-Lipschitz} \{\underbrace{\mathbb{E}_{x \sim P_{data}} [D_w(x)] - \mathbb{E}_{x \sim P_G} [D_w(x)]}_{\text{Original\ Critic\ Loss}}-\underbrace{λ\mathbb{E}_{x\sim P_{penalty}}[||\nabla_x D(X)||_p-1]^2}_{\text{Gradient\ Penalty}}\}}−L=Dw​∈1−Lipschitzmax​{Original Critic LossEx∼Pdata​​[Dw​(x)]−Ex∼PG​​[Dw​(x)]​​−Gradient PenaltyλEx∼Ppenalty​​[∣∣∇x​D(X)∣∣p​−1]2​​}
  • 这就是gradient penalty方法，相应的改进版的WGAN模型简称为WGAN-GP
  • WGAN-GP的创新点也就在目标函数的第二项上，由于模型是对每个样本独立地施加梯度惩罚，所以判别器的模型架构中不能使用Batch Normalization， 因为它会引入同个batch中不同样本的相互依赖关系。

2.2 “WGAN 的 Weight Clipping方法” v.s “WGAN-GP 的 Gradient Penalty方法”

  • Weight Clipping方法对样本全局生效，但由于间接限制判别器的梯度norm，会导致一不小心就梯度消失或梯度爆炸；
  • Gradient Penalty方法只对真假样本集中区域以及真假样本中间的过度地带生效，由于直接把判别器的梯度norm限制为1附近，所以梯度的可控性较强，容易调整到合适的尺度大小。
  • 实验表明，Gradient Penalty能够显著提高训练速度，解决了原始WGAN收敛缓慢的问题。

2.3 WGAN-GP的算法框图

参考资料：

深度学习中最常见GAN模型应用与解读
原始GAN存在的问题
原始GAN究竟出了什么问题
谈谈WGAN的理解-原始GAN存在问题
交叉熵、相对熵（KL散度）、JS散度和Wasserstein距离（推土机距离）
WGAN (原理解析)
WGAN-GP(改进的WGAN)介绍

计算机视觉(CV)-生成模型：WGAN【Lipschitz：Weight Clipping】--＞ WGAN-GP【Lipschitz：Gradient Penalty】相关推荐

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