克鲁斯卡尔算法（Kruskal Algorithm）—

听骚话讲作者

[手动滑稽]
其实早就该写这篇博客啦。

图的最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或Prim（普里姆）算法求出。
换句话说，就是使原图变成一棵树并且要求这棵树中保留的边最小。（变树的过程需要删除边）
如下图，红线为此图的一个最小生成树：

浅谈克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法。在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次小边。
根据克鲁斯卡尔算法定义，我们要解决以下问题：

1.选择多少条这样的边？
2.使用什么思想来解决？（贪心，动态规划，数论，分治，递归，递推。。。。。。）

对于第一个问题，我们很容易可以得到答案。假设有n个点，那么必然保留n-1条边，只有这样才满足树的性质。

满足了树的性质，我们还要满足“最小”的性质。
在克鲁斯卡尔算法中，我们选择使用贪心法来解决。

我们为了取用最小的边，所以对所有的边进行排序，并从最小的开始选取。
为此，我们需要一个存储边以及边权的表，如下图：

struct e{int u,v,order,s;e(){u=v=order=0;return;}bool operator < (const e &x)const{if(s<x.s) return 1;return 0;}
}edge[maxm];

这里使用了运算符重载，因为我们要的只是对边权排序，而其他所有和边有关的变量一起被排序。
对这种捆绑排序和运算符重载不理解的可以戳这里：戳我手动滑稽一下
使用下面这个函数有助于你往边表里添加边，当然你可以不写这个函数。

void addedge(int u,int v,int s,int order){  //这不是邻接表！ edge[++js].u=u;edge[js].v=v;edge[js].s=s;edge[js].order=order;return;
}

这看起来很像邻接表，但是这绝对不是邻接表。这里没有链表的象征——后继指针next
如果你对我上述的话有质疑，那你一定要看这篇——邻接表存图法
这绝对不会浪费你人生的十分钟

接下来我们优美的排个序：

sort(edge+1,edge+s+1);

然而，当我们从最小的开始选取时，选完最小的两边——（1,2）和（1,3）时，有可能就会选到上图中标蓝色的边。而一旦选取了这个边，就会构成回路，这样就不满足树的性质了。
为了防止其形成回路，我们需要使用一个数据结构——并查集

不懂并查集的朋友点我

每当我们加入一条边时，便把这个边的两个端点加入并查集。然后后续选择边的时候，需要把即将添加的边的两个端点进行查找，如果不在同一个并查集里头，就可以加入该边，否则就跳过这条边而选择下一条次小的。
流程这样描述：

for(int i=1;i<=s;i++){if(time==p-1) break;if(get(edge[i].u)!=get(edge[i].v)){merge(edge[i].u,edge[i].v);cout<<edge[i].u<<" link with "<<edge[i].v<<endl;time++;}}

其中if(time==p-1) break; 就是当已经选择了p-1条边时（假设p为总点数）自动退出循环。
if(get(edge[i].u)!=get(edge[i].v)) 这个就是判断是否形成环路的，通过这层判断就代表不在同一个并查集里。
我们这里用cout<<edge[i].u<<" link with "<<edge[i].v<<endl; 来输出我们被选中的边。time是用于统计被选中的边数。
这样，克鲁斯卡尔基本上就搞定了

代码示例

样例输入	样例输出
6 10	1 link with 2
1 2 1	1 link with 3
1 3 1	2 link with 5
2 3 2	4 link with 5
2 4 3	4 link with 6
2 5 2
3 5 2
3 4 3
4 5 2
4 6 3
5 6 3

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm=10001;
int p,s;
int a,b,c;
struct e{int u,v,order,s;e(){u=v=order=0;return;}bool operator < (const e &x)const{if(s<x.s) return 1;return 0;}
}edge[maxm];int js;
void addedge(int u,int v,int s,int order){  //这不是邻接表！ edge[++js].u=u;edge[js].v=v;edge[js].s=s;edge[js].order=order;return;
} int fa[maxm];
int get(int x){if(fa[x]==x) return x;return fa[x]=get(fa[x]);
}void merge(int x,int y){x=get(x);y=get(y);if(x!=y) fa[y]=x;return;
} int time;
void kruskal(){sort(edge+1,edge+s+1);for(int i=1;i<=s;i++){if(time==p-1) break;if(get(edge[i].u)!=get(edge[i].v)){merge(edge[i].u,edge[i].v);cout<<edge[i].u<<" link with "<<edge[i].v<<endl;time++;}} return;
}int main(){std::ios::sync_with_stdio(false);cin>>p>>s;for(int i=1;i<=s;i++){cin>>a>>b>>c;addedge(a,b,c,i);}for(int i=1;i<=p;i++)fa[i]=i;kruskal();return 0;
}