指标赋权与综合评价方法

一、主观赋权
- 1、AHP层次分析法
二、客观赋权
- 1、主成分分析
- 2、熵权法
三、组合赋权法
四、综合评价
- 1、Topsis
- 2、数据包络法
五、GRA灰色关联度分析

一、主观赋权

1、AHP层次分析法

（1）模型简介
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的问题。

（2）步骤

建立层次结构模型
构造判断矩阵

标度	含义
1	同等重要性
3	稍微重要
5	明显重要
7	非常重要
9	极端重要
2，4，6，8	上述两相邻判断的中值
倒数	如果A与B相比如果标度为3，则B与A相比为1/3

层次单排序及一致性检验

首先需要进行一致性指标CI的计算CI=λmax−nn−ICI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-I}CI=n−Iλmax−n当CI=0时，判断矩阵具有完全一致性。-n越大，CI越大，则判断矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。

矩阵阶数	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.96	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

若判断矩阵CR=CIRI<0.10CR=\frac{CI}{RI}<0.10CR=RICI<0.10时，则此判断矩阵具有满意的一致性，否则需要对判断矩阵进行调整。

层次总排序及一致性检验

（3）具体算法
判断矩阵进行一致性检验并通过后，计算各指标的权重。
权重计算方法有三种：算术平均法、几何平均法、特征值法。

（4）模型优缺点

优点
层次分析法定性问题进行定量分析的一种简便灵活，而且实用的一种多准则决策方法。把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维进行决策，用该方法可以将定量与定性结合起来。模型中利用层次分析法求得的权重，综合各个指标得出结论，这样做可以避免一定的误差。

缺点
主观因素对判断矩阵的影响很大，当决策者的判断过多地受其主观偏好的影响时，结果不够客观。

（5）参考资料
层次分析法（AHP）详细步骤
数学建模十大算法——层次分析法
网络分析法ANP
AHP、ANP、熵值法

二、客观赋权

1、主成分分析

（1）简介
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

（2）基本原理
主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。

主成分分析的原理是设法将原来变量重新组合成一组新的相互无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的总和变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法。主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Va（rF1）越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求Cov（F1,F2）=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。

（3）步骤

数据标准化
计算相关系数矩阵
计算相关系数矩阵的特征值和特征向量
选择p个主成分，计算综合评价值
计算主成分载荷

（4）优缺点
优点

使得数据集更易使用
降低算法的计算开销
去除噪声
使得结果容易理解
完全无参数限制

缺点

如果用户对观测对象有一定的先验知识，掌握了数据的一些特征，却无法通过参数化等方法对处理过程进行干预，可能会得不到预期的效果，效率也不高
特征值分解有一些局限性，比如变换的矩阵必须是方阵
在非高斯分布情况下，PCA方法得出的主元可能并不是最优的

（5）参考资料
数学建模之主成分分析
主成分分析介绍（matlab实现）
主成分分析法（spss实现）

2、熵权法

（1）简介
在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。不确定性越大，熵就越大，包含的信息量越大；不确定性越小，熵就越小，包含的信息量就越小。

根据熵的特性，可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响（权重）越大。比如样本数据在某指标下取值都相等，则该指标对总体评价的影响为0，权值为0。

熵权法是一种客观赋权法，因为它仅依赖于数据本身的离散性。

（2）计算步骤

（3）参考资料
熵权法确定权重

三、组合赋权法

（1）简介

在对指标进行权重分配时，应考虑指标数据之间的内在统计规律和权威值。给出了合理的决策指标赋权方法，即采用主观赋权法和客观赋权法相结合的组合赋权方法，以弥补单一赋权带来的不足。将两种赋权方法相结合的加权方法称为组合赋权法。

（2）具体算法
离差平方和最小的最优组合赋权法计算组合权重

（3）参考资料
多属性决策中的一种最优组合赋权方法研究（文献）
综合主、客观权重信息的最优组合赋权方法（文献）
组合赋权如何确定主客观权重分配（重要）

四、综合评价

1、Topsis

（1）简介
C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。TOPSIS 法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

（2）具体实现方法
1、如果有多个指标且不全是极大型指标，则进行指标正向化
（1）中间型指标——>极大型指标
Xi{X_i}Xi是一组中间型指标序列，且最佳的数值为XbestX_{best}Xbest，那么正向化的公式为M=max∣Xi−Xbest∣M=max{|X_i-X_{best}|}M=max∣Xi−Xbest∣
（2）区间型指标——>极大型指标
Xi{X_i}Xi是一组中间型指标序列，且最佳的区间为[a,b][a,b][a,b]，那么正向化的公式为M=maxa−minXi,maxXi−bM=max{a-min{X_i},max{X_i}-b}M=maxa−minXi,maxXi−b

2、对正向化矩阵进行标准化，目的是消除不同指标量纲的影响

3、计算得分
假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵
（1）定义最大值
（2）定义最小值
（3）定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离
（4）定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离

因此，可以计算得出第i(i=1,2,…,n)个评价对象未归一化的得分：

很明显，当01，且越大越小，即越接近最大值

4、归一化评分

（3）案例
题目：评价表1中20条河流的水质情况
已知：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10—20之间最佳，超过20或低于10均不好
解题思路：
1、将各项指标正向化
PH值（中间型转极大型）、细菌总数（极小型转极大型）、植物性营养物量（区间型转极大型）
2、正向化后的矩阵进行标准化
3、进行打分（20个评价对象（河流），4个评价指标（含氧量、PH值、细菌总数、植物性营养物量））
4、分数归一化
5、分析评分，得分最高的河流水质最好,得到表2、图1所示结果

（4）学习参考资料
评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）学习一
评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）学习二

2、数据包络法

（1）方法简介
绩效评估是评估组织或个人如何以较少的资源获得较多的产出结果的多属性评估，也称之为成本效益分析。数据包络分析是 A.Charnes, W.W.Copper 和 E.Rhodes 在 1978 年提出的评价多指标输入输出，衡量系统有效性的方法。将属性划分为投入项、产出项（成本型、效益型指标），不预先设定权重，只关心总产出与总投入，以其比率作为相对效率。数据包络分析有多种模式，主要为：CCR 模式，BBC 模式、交叉模式、A&P 模式。

（2）步骤
1、构建决策单元
要点：确定“投入”和“产出”

2、建立DEA效率评估模型（CCR模式）
决策单元k的效益评价指数为：

从投入资源的角度来看，在当前产出的水准下，比较投入资源的使用情况，以此作为效益评价的依据，这种模式称为“投入导向模式”。但这种模型不是传统的线性规划模型, 难以求最优解, 因此将其线性化后, 取对偶模型，为如下模型（评价决策单元k效益的CCR模式线性规化模型）：

为加速模型求解及分析产能效应，为上述方程引入松弛变量,。其中称为差额变数，表示该决策单元为达到 “DEA 有效” 应减少的投入量,称为超额变数，代表为达到 “DEA 有效” 应增加的产出量。引入非阿基米德数 ε (non-Archimedean constant) CCR 模式线性规划模型化为：

3、分层序列法求解
使用分层序列法进行求解。第一阶段求解OEk的最小值，在第二阶段求解两项和的最大值，即

（3）优缺点

优点
同时考虑多项的投入与产出属性，来评估决策单位和方案的相对效率，不依赖于人为选择权重，对于决策问题中不可度量糅合的属性具有天然的优势。对测量单位的改变不敏感，具有较强的鲁棒性。模型依赖于线性规划问题的基本算法，求解速度快。

缺点
评估结果是相对效率而非绝对效率，因此效率为 1 只能说明在当前资源下不同方案同等有效，并不代表没有改进之处，模型不依赖于权重的选择，将所有的投入、产出资源认为同等重要，一定程度上损失模型的可靠性。

（4）参考资料
方法详细介绍
DEA（数据包络分析）介绍（python实现）
RSR（秩和比综合评价法）介绍（python实现）
一个案例（lingo实现）

五、GRA灰色关联度分析

（1）简介
灰色关联度分析（Grey Relation Analysis，GRA），是一种多因素统计分析的方法。简单来讲，就是在一个灰色系统中，我们想要了解其中某个我们所关注的某个项目受其他的因素影响的相对强弱，再直白一点，就是说：我们假设以及知道某一个指标可能是与其他的某几个因素相关的，那么我们想知道这个指标与其他哪个因素相对来说更有关系，而哪个因素相对关系弱一点，依次类推，把这些因素排个序，得到一个分析结果，我们就可以知道我们关注的这个指标，与因素中的哪些更相关。

（2）具体算法
1、确定母序列
母序列即参考序列，这里要找到子序列和参考序列的关联程度。

2、归一化（无量纲化）
减少数据的绝对数值的差异，将它们统一到近似的范围内，然后重点关注其变化和趋势。主要方法有初值化和均值化。

初值化：把这一个序列的数据统一除以最开始的值，由于同一个因素的序列的量级差别不大，所以通过除以初值就能将这些值都整理到1这个量级附近。

均值化：把这个序列的数据除以均值，由于数量级大的序列均值比较大，所以除掉以后就能归一化到1的量级附近。

3、计算灰色关联系数

对公示的简单理解：
当ρ取0的时候，该式分子表示所有因素的维度中，与参考序列距离最近的维度上的距离；分母相当于归一化。
当ρ不取0的时候，相当于分子分母同时增加相同的数（实际上是添加溶质的溶液的问题）。
总之，ρ是控制灰色关联系数区分度的一个系数，ρ取值从0到1，ρ越小，区分度越大，一般取0.5较为合适。而灰色关联系数取值落在0到1之间。

4、计算关联系数均值，形成关联序

（3）算法总结
GRA算法本质上来讲就是提供了一种度量两个向量之间距离的方法，对于有时间性的因子，向量可以看成一条时间曲线，而GRA算法就是度量两条曲线的形态和走势是否相近。为了避免其他干扰，凸出形态特征的影响，GRA先做了归一化，将所有向量矫正到同一个尺度和位置，然后计算每个点的距离。最后，通过min min 和max max 的矫正，使得最终输出的结果落在0到1之间，从而符合系数的一般定义。rho调节不同关联系数之间的差异，换句话说，就是输出的分布，使其可以变得更加稀疏或者紧密。以数学角度要言之，该算法即度量已归一化的子向量与母向量的每一维度的l1-norm距离的倒数之和，并将其映射到0～1区间内，作为子母向量的关联性之度量的一种策略。

（4）算法优缺点
1、优点
此方法的优点在于思路明晰，可以在很大程度上减少由于信息不对称带来的损失，并且对数据要求较低，工作量较少。
2、缺点
其主要缺点在于要求需要对各项指标的最优值进行现行确定，主观性过强，同时部分指标最优值难以确定。

（5）参考文献
灰色关联度分析原理详解（matlab）
灰色关联分析的理论及应用（这个详细 matlab、python）

指标赋权与评价类方法总结相关推荐

组合赋权法之python
目录 1.简介 2.算法原理 2.1 指标正向化 2.2 数据标准化 2.3 计算主观权重 2.4 计算客观权重 2.5 计算组合权重 2.6 计算的得分 3.实例分析 3.1 读取数据 3.2 指标 ...
组合赋权法之matlab
目录 1.简介 2.算法原理 2.1 指标正向化 2.2 数据标准化 2.3 计算主观权重 2.4 计算客观权重 2.5 计算组合权重 2.6 计算的得分 3.实例分析 3.1 读取数据 3.2 指标 ...
从零开始的数模（十九）组合赋权法
目录一.概念 1.1相关概念 1.2原理二.基于python的组合赋权法 2.1 读取数据完整代码三.基于MATLAB的组合赋权法完整代码一.概念 1.1相关概念主观赋权法(AHP)在根 ...
嫡权法赋权法_变异系数法_客观赋权法
什么是变异系数,有何优势? 变异系数:当需要比较两组数据离散程度大小的时候,如果两组数据的测量尺度相差太大,或者数据量纲的不同,直接使用标准差来进行比较不合适,此时就应当消除测量尺度和量纲的影响,而变 ...
权重设计：客观赋权法的说明（熵权法/变异系数法/CRCIII法/TOPSIS法）
在数据分析中,我们经常会遇到多个特征对于结果造成不同影响的情况,如何识别这些特征各自的权重,对我们的后续结果评估,打分矩阵构建都具有重要意义.我们所说的赋权法是用于解决多指标综合评价问题中的各指标权重 ...
LL1分析构造法_数学建模算法--最优赋权法（含代码）
数学建模算法--最优赋权法(含代码) 作者:郑铿城本次介绍数学建模和科研写作的方法--最优赋权法最优赋权法经常用于分析评价类问题,从该算法的名称就可以看到,该算法首先要体现"最优" ...
基于层次分析法与熵权法的主客观组合赋权模型（原创：小青龙）
基于层次分析法与熵权法的主客观组合赋权模型组合赋权大家可以尝试进行改变,一个主观一个客观.(原创:小青龙) 简介权重是用来衡量总体中各单位标志值在总体中作用大小的数值, 用来描述单因子在因子集 ...
客观赋权法——变异系数法
一.变异系数法的概念变异系数法是根据统计学方法计算得出系统各指标变化程度的方法,是一种客观赋权法. 根据该方法变化差异较大的指标权重较大,变化差异较小的指标权重较小,从而根据指标的统计学规律确定其重 ...
基于AHP与CRITIC的组合赋权方法
1.程序名称基于AHP与CRITIC的组合赋权方法 2.程序功能(对象) 适用于对两个及以上的对象进行综合评估: 主观赋权法:AHP(输入专家对指标排序及相邻指标相对重要程度) 客观赋权法:CRIT ...
坎蒂雷赋权法 matlab,综合评价系统中客观赋权方法.doc
综合评价系统中客观赋权方法综合评价系统中客观赋权方法提要客观赋权方法是从原始数据出发,从样本中提取信息,相较于主观赋权方法得到的权数的偏差更小一些,更能反映众多评价指标真实的重要程度.本文通过比较 ...

指标赋权与评价类方法总结