基于层次分析法与熵权法的主客观组合赋权模型

组合赋权大家可以尝试进行改变，一个主观一个客观。（原创：小青龙）

简介

权重是用来衡量总体中各单位标志值在总体中作用大小的数值, 用来描述单因子在因子集体系当中的重要性。确定指标权重的方法有很多，可分为主观赋权法和客观赋权法两大类，其中主观赋权法有特尔斐法、层次分析法等，客观赋权法有变异系数法、熵值法、特征向量法等。但以上方法都存在者各自的优缺点与局限性。为克服了单一方法赋权的局限性，充分发挥各种赋权方法自身的优势。本文采用主客观组合赋权法，消除主观偏差和客观片面，使所确定的权重同时体现主观信息和客观信息，能够真实客观、完整准确地反映…的实际情况。

主观赋权

简介

层次分析法（AHP-analysis hierarchy process）由萨蒂教授在 1977 年提出，是一种主观判断性的用来描述客观的定性定量结合的有效方法。主要是通过把问题层次化，依照研依照研究内容的特性及最终的总目标，将问题解剖为各类组成成分。并依据成分间的相互关联关系，将成分通过不同的层次进行分类聚集，最终展开为一个多层次分析结构模型。

具体步骤

主观赋权—层次分析法

选取指标，构造层次模型

目标层–准则层–方案层

构造模糊判断矩阵

    为克服传统的九标度所具有的一致性与判断思维一致性不等价缺点，使矩阵一致性指标真正反映思维一致性程度，本文采用新模糊标度法来确定指标权重。为了使定量的相对重要度正确反映定性评判的结果，必须使判断尺度给出的相对重要性大小与定性分析的结果基本相符，这就要求判断尺度本身要符合一定的规则。现假设判断尺度符合“等距跃进”，则有：

dk−d(k−1)=d(k−1)−d(k−2)kϵ{−3,−2,−1,0,1,2,3,...,}d^k-d^{(k-1)}=d^{(k-1)}-d^{(k-2)}\ k\ \epsilon\{-3,-2,-1,0,1,2,3,...,\}dk−d(k−1)=d(k−1)−d(k−2) k ϵ{−3,−2,−1,0,1,2,3,...,}

对上式进行计算得到a=1a=1a=1,显然这与判断尺度不符合，再假设判断尺度符合“阶梯跃进”，则有：

dk=d(k−1)−d(k−2)kϵ{−3,−2,−1,0,1,2,3,...,}d^k=d^{(k-1)}-d^{(k-2)}\ k\ \epsilon\{-3,-2,-1,0,1,2,3,...,\}dk=d(k−1)−d(k−2) k ϵ{−3,−2,−1,0,1,2,3,...,}

对上式进行计算得到a=1.618a=1.618a=1.618，这与合理性准则基本一致，这时有新的模糊标度，如下标所示

标度	标度含义
dij0d^0_{ij}dij0=1.00	i与j等同重要
dij1d^1_{ij}dij1=1.618	i比j稍微重要
dij2d^2_{ij}dij2=2.618	i比j重要
dij3d^3_{ij}dij3=4.236	i比j明显重要
dij4d^4_{ij}dij4=6.854	i比j很重要
dij5d^5_{ij}dij5=11.09	i比j绝对重要

在主观判断各个准则的重要性时，根据实际算法建立的经验和研究相关评价资料的基础之上，分析判断准则层对目标层的影响，产生模糊判断矩阵：

A=d(n∗n)A=d_{(n*n)}A=d(n∗n)

一致性检验

根据引理：A为n阶方阵，且r（A）=1，则A有一个特征值为tr（A），其余特征值均为0 。因为一致性矩阵各行成比例，因此一致性矩阵的秩一定是 1 ，对成对比较矩阵进行一致性检验。

建立一致性指标

CI=λmax−nn−1CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}CI=n−1λmax−n

其中：λmax\lambda_{max}λmax表示判断矩阵的最大特征值，nnn表示指标个数

查找对应的平均随机一致性指标RIRIRI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46

计算一致性比例

CR=CIRICR=\frac{CI}{RI}CR=RICI

当CR<0.1CR<0.1CR<0.1时通过一致性检验，认为比较矩阵的不一致程度在容许范围之内，故可对其进行归一化求取权重。

群决策排序向量算法

多次评分然后综合
归一化权重
- 算数平均
- 几何平均
- 特征值法

客观赋权

简介

熵是系统无序程度的度量，它代表着各指标在问题中提供有效信息的多寡程度，是一种将各评价单元的信息进行量化与综合的客观赋权方法；“熵权”确定权重理论是一种借用信息论中熵的概念，其概念可反映重金属的变异特征有效地预防了加权人为的主观性，可提高风险决策的合理性。

具体步骤

客观赋权—topsis熵权法
- 统一量纲化原始数据矩阵
  - 指标一致化
    - 极小型化为极大型
      
      对于极小型指标x_i，即x_i越小越好。要将其转化为极大型指标。只需要平移变换x’_i=M_i-x_i，其中M_i=max{x_ij}，即可将极小型指标转化为极大型。
    - 中间型化为极大型
      
      对于中间型指标x_i，即x_i取中间值Mi+mi2\frac{M_i+m_i}{2}2Mi+mi为最好。要将其化为极大型指标，令：
      xi′={2(xi−mi)Mi−mi,mi≤xi≤Mi+mi22(Mi−mi)MI−mi,Mi+mi2≤xi≤Mix'_i=\begin{cases} \frac{2(x_i-m_i)}{M_i-m_i},m_i\le x_i \le\frac{M_i+m_i}{2} \\ \frac{2(M_i-m_i)}{M_I-m_i}, \frac{M_i+m_i}{2}\le x_i \le M_i \end{cases}xi′={Mi−mi2(xi−mi),mi≤xi≤2Mi+miMI−mi2(Mi−mi),2Mi+mi≤xi≤Mi
      
      其中：Mi=max{xij},mi=min{xij}M_i=max\{x_{ij}\},m_i=min \{x_{ij} \}Mi=max{xij},mi=min{xij}。则将中间型指标化为极大型指标。
    - 区间型化为极大型
      
      对于区间型指标xiϵ[ai,bi]x_i \epsilon[a_i,b_i]xiϵ[ai,bi],即指标x_i介于区间[a_i，b_i]内都是最好的，越远离该区间就越不好。要将其转化为极大型指标，令：
      
      xi′={1−ai−xici,xi<ai1,ai≤xi≤bi1−xi−bici,xi>bix'_i=\begin{cases} 1-\frac{a_i-x_i}{c_i} \quad ,x_i<a_i \\1 \qquad \qquad \ \ ,a_i\le x_i\le b_i \\ 1-\frac{x_i-b_i}{c_i} \quad \ ,x_i>b_i\end{cases}xi′=⎩⎪⎨⎪⎧1−ciai−xi,xi<ai1 ,ai≤xi≤bi1−cixi−bi ,xi>bi
      
      其中，ci=max{ai−mi,Mi−bi};ai和bic_i=max\{a_i-m_i,M_i-b_i \};a_i和b_ici=max{ai−mi,Mi−bi};ai和bi为区间型指标x_i的最稳定区间的下界和上界。则则可以将区间型指标化为极大型。
  - 统一化量纲
    - Z-SCORE
      
      将不同量级的数据统一转化为同一个量级，统一用计算出的Z-Score值衡量，以保证数据之间的可比性。
      
      x∗=x−μσx^*=\frac{x-\mu}{\sigma}x∗=σx−μ
```
    自左到右，自上而下字母表示：标准化后值；原始值；原始值均值；原始值标准差
```
      xi′={1−ai−xici,xi<ai1,ai≤xi≤bi1−xi−bici,xi>bix'_i=\begin{cases} 1-\frac{a_i-x_i}{c_i} \quad ,x_i<a_i \\1 \qquad \qquad \ \ ,a_i\le x_i\le b_i \\ 1-\frac{x_i-b_i}{c_i} \quad \ ,x_i>b_i\end{cases}xi′=⎩⎪⎨⎪⎧1−ciai−xi,xi<ai1 ,ai≤xi≤bi1−cixi−bi ,xi>bi
    - MapMinMax
      
      最大最小归一化，其功能主要是将原始数据线性化的方法转换到[0,1]的范围.
    x∗=x−xminxmax−xminx^*=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}x∗=xmax−xminx−xmin
- 计算方案指标比重矩阵
  
  pij=cij∑i=1ncijp_{ij}=\frac{c_{ij}}{\sum_{i=1}^nc_{ij}}pij=∑i=1ncijcij
- 计算指标熵值矩阵
  
  ej=−1ln⁡n∑i=1npijln⁡pije_j=-\frac{1}{\ln n}\sum_{i=1}^np_{ij}\ln p_{ij}ej=−lnn1∑i=1npijlnpij
  
  k=1ln⁡nk=\frac{1}{\ln n}k=lnn1
#---------------------------------------------------------------

#以下为熵权topsis法中topsis部分
- 计算指标熵权
  
  wj=1−ejn−∑k=1mekw_j=\frac{1-e_j}{n-\sum_{k=1}^me_k}wj=n−∑k=1mek1−ej
- 构造加权矩阵
  
  rij=wij∗pijr_{ij}=w_{ij}*p_{ij}rij=wij∗pij
- 寻找最优、最劣解
  
  rj+=max(r1j,r2j,...,rij)rj−=min(r1j,r2j,...,rij)r_j^+ = max (r_{1j},r_{2j},...,r_{ij}) \\r_j^-=min(r_{1j},r_{2j},...,r_{ij})rj+=max(r1j,r2j,...,rij)rj−=min(r1j,r2j,...,rij)
- 计算不同方案和最优最劣解的欧氏距离
  
  Si+=∑j=1n(rij−rj+)2Si−=∑j=1n(rij−rj−)2S_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^n(r_{ij}-r^+_j)^2}\\S_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^n(r_{ij}-r^-_j)^2}Si+=∑j=1n(rij−rj+)2Si−=∑j=1n(rij−rj−)2
- 构造相对接近度
  
  Ci=Sj−Sj++Sj−C_i=\frac{S^-_j}{S^+_j+S^-_j}Ci=Sj++Sj−Sj−

组合权重

简介

针对主观赋权方法、客观赋权法各自的优点和缺点，将一定的数学模型实现主观权重和客观权重通过理想点原理进行有机结合的方法们称之为组合权重法。本文利用主观与客观赋权法相结合得到的组合赋权法来确定重金属指标体系的权重集以弥补各自的不足，既避免了层次分析法的主观性，又克服了熵权法的客观性。确定出…指标体系的更合理科学的权重集合。

线性加权

线性加权法在一定程度上克服了乘法合成归一化方法带来的权重倍增效果，在实际应用中更加广泛，因此本文采用线性加权来对主客观赋权进行组合：

wi′=λαi+(1−λ)βiw_i'=\lambda\alpha_i+(1-\lambda)\beta_iwi′=λαi+(1−λ)βi
- 采用差异系数法进行求解
  
  λ=nn−1\lambda = \frac{n}{n-1}λ=n−1n[ \frac{2}{n}(P_1+2P_2+…+nP_n)-\frac{n+1}{n}]$
  
  其中：P_i表示主观权重依照升序排列后依次的向量，n为评价因子数目，α_i表示主观赋权下的权重。（P和α相对应）
模型评价
- 问题一中采用的AHP层次分析法，在判断矩阵的确定过程中会受到人为素的影响，从而形成系统误差。随着判断矩阵阶数的增加，人为判断的次数也会增加，主观判断误差也会越大，其次，采用的标度方法会使各指标相对重要性取值有限，在一定程度上限值专家对各指标相对重要性的客观评判。
- 量纲一化方法会影响熵权法的稳健性，通常的线性无量纲化方法有：极差化法、Z−ScoreZ-ScoreZ−Score法、极大化法、极小化法及均值化法，不同量纲一化法对模型的影响不同，针对不同的问题，应选择敏感性低、稳健性高的量纲一化方法。其次，在计算第jjj项指标熵值eje_jej时，不同的k值也会影响熵值法的稳健性，通过改变kkk的取值，分别进行各评价指标熵值的计算，然后比较各种kkk值下的指标权重，如果在某一kkk值下的指标权重结果与层次分析法差异小，则说明熵值法对该kkk值不敏感，即各指标权重结果比较稳定。

引用

[*]：李珂.基于组合赋权和灰云模型的水体沉积物重金属的综合污染评价研究[D].大连理工大学,2019.