UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题7 柱坐标系中的Laplace方程与Bessel函数

这一讲我们讨论柱坐标系中的Laplace方程：
∇2Φ=1η∂∂η(η∂Φ∂η)+1η2∂2Φ∂ϕ2+∂2Φ∂z2=0\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\eta} \frac{\partial }{\partial \eta}(\eta \frac{\partial \Phi}{\partial \eta})+\frac{1}{\eta^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}=0∇2Φ=η1∂η∂(η∂η∂Φ)+η21∂ϕ2∂2Φ+∂z2∂2Φ=0

假设可分离变量，即
Φ(η,ϕ,z)=R(η)F(ϕ)Z(z)\Phi(\eta,\phi,z)=R(\eta)F(\phi)Z(z)Φ(η,ϕ,z)=R(η)F(ϕ)Z(z)

代入到Laplace方程中，
ηR(ηR′)′+F′′F+η2ZZ′′=0\frac{\eta}{R}(\eta R')'+\frac{F''}{F}+\frac{\eta^2}{Z}Z''=0Rη(ηR′)′+FF′′+Zη2Z′′=0

引入比例常数ν\nuν，使得
−F′′F=νηR(ηR′)′+η2ZZ′′=ν-\frac{F''}{F}=\nu \\ \frac{\eta}{R}(\eta R')'+\frac{\eta^2}{Z}Z''=\nu−FF′′=νRη(ηR′)′+Zη2Z′′=ν

第一个方程的解系为{e±iνϕ}\{e^{\pm i \nu \phi}\}{e±iνϕ}；把第二个方程左右同除以η2\eta^2η2，
1ηR(ηR′)′+Z′′Z=ν2η2\frac{1}{\eta R}(\eta R')'+\frac{Z''}{Z}=\frac{\nu^2}{\eta^2}ηR1(ηR′)′+ZZ′′=η2ν2

引入第二个比例常数kkk，使得
Z′′Z=k2=ν2η2−1ηR(ηR′)′\frac{Z''}{Z}=k^2 = \frac{\nu^2}{\eta^2}-\frac{1}{\eta R}(\eta R')'ZZ′′=k2=η2ν2−ηR1(ηR′)′

kkk的物理本质为wave number，它等于2π/λ2\pi/\lambda2π/λ，λ\lambdaλ为波长；第一个等号可以解出ZZZ，解系为{e±kz}\{e^{\pm kz}\}{e±kz}，第二个等号是一个Bessel方程：
R′′+1ηR′+(k2−ν2η2)R=0R''+\frac{1}{\eta}R'+(k^2-\frac{\nu^2}{\eta^2})R=0R′′+η1R′+(k2−η2ν2)R=0

做一个自变量变换x=kηx=k\etax=kη，
R′′+1xR′+(1−ν2x2)R=0R''+\frac{1}{x}R'+(1-\frac{\nu^2}{x^2})R=0R′′+x1R′+(1−x2ν2)R=0

它的解系可以用Bessel函数表示，为{Jν,J−ν}\{J_{\nu},J_{-\nu}\}{Jν,J−ν}
Jν(x)=(x2)ν∑j=0∞(−1)jj!Γ(j+ν+1)(x2)2jJ−ν(x)=(x2)−ν∑j=0∞(−1)jj!Γ(j−ν+1)(x2)2jJ_{\nu}(x)=(\frac{x}{2})^{\nu} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!\Gamma(j+\nu+1)}(\frac{x}{2})^{2j} \\ J_{-\nu}(x)=(\frac{x}{2})^{-\nu} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!\Gamma(j-\nu+1)}(\frac{x}{2})^{2j}Jν(x)=(2x)νj=0∑∞j!Γ(j+ν+1)(−1)j(2x)2jJ−ν(x)=(2x)−νj=0∑∞j!Γ(j−ν+1)(−1)j(2x)2j

当ν\nuν是整数时，
J−ν(x)=(−1)νJνJ_{-\nu}(x)=(-1)^{\nu}J_{\nu}J−ν(x)=(−1)νJν

所以Bessel函数并不互相正交，我们不能用它来表示通解；为此，我们可以基于Bessel函数做一些修正，定义Neumann函数
Nν(x)=Jν(x)cos⁡νπ−J−ν(x)sin⁡νπN_{\nu}(x)=\frac{J_{\nu}(x)\cos \nu \pi-J_{-\nu}(x)}{\sin \nu \pi}Nν(x)=sinνπJν(x)cosνπ−J−ν(x)

于是柱坐标系下，Φ\PhiΦ也可以写成级数的形式，通项为Nν(x)e±kze±iνϕN_{\nu}(x)e^{\pm kz}e^{\pm i \nu \phi}Nν(x)e±kze±iνϕ。

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