基本概念

同构的概念和性质

同态的概念：（如下图所示）

对同态的概念的理解：
①首先明确一点，同态的全称是同态映射，也就是说同态指的是一种具体的映射方式。
②同态这种映射方式，将一个代数系统中的元素映射为另一个代数系统中的元素，这是同态如何将两个代数系统联系在一起的方法。
③这种映射方式必须满足一定的条件，也就是等式。这个等式可以理解为：一个代数系统中的两个元素先运算再映射到第二个代数系统中的结果和两个元素分别映射到第二个代数系统中后再在第二个代数系统中进行运算的结果完全相同。

其他注意事项：
①同态像并非一定和第二个代数系统B的集合相等；
②两个集合同态的表示方法需要记住。

同态映射的性质：

• 代数系统结构传递性：
  
• 元素性质：
  

同态与同构

同态与同构：

• 满同态的概念：如果f是从A到B的一个满射（B中的所有元素都可以被映射到），则称f为满同态。
• 单一同态的概念：如果f是从A到B的一个入射（B中的每一个元素都最多可以表示为一个输入元素的映射结果），则称f为单一同态。
• 同构映射的概念：如果f是从A到B的一个双射（A和B中的元素一一对应），则称f为同构映射。同时，称两个代数系统是同构的，同构用全等符号表示。

备注：满射、入射和双射的关系是：双射是同时满足满射和入射的映射关系。

同构的性质：

• 同构的逆映射：同构的逆映射仍然是同构的。
• 同构与等价关系：设G是代数系统的集合，则G中的代数系统之间的同构关系是等价关系。

凯莱定理

凯莱定理：任何一个有限群同构于一个置换群。

自同态和自同构

• 自同态：如果存在一个映射，是一个代数系统与其本身的同态映射，那么就称这个同态为自同态。
• 自同构：如果存在一个映射，是一个代数系统与其本身的同构映射，那么就称这个同构为自同构。

同态核

同态核的定义：

同态核的性质：

• 同态核与正规子群：一个同态映射的同态核是第一个代数系统的正规子群。
• 单同态判定定理：设f是群G1到G2的同态，则f是单同态当且仅当同态核为G1的幺元。

相关题型

1.证明两个代数系统是同态的

基本思路：从定义出发，只需要证明对于给定的映射方式，均有f(a1※a2)=f(a1)×f(a2)即可。

例题：

解析：本题从定义出发进行证明即可。只需要根据商群的定义即可完成证明。

2.判断同态的类型（满同态、单一同态和同构）

基本思路：从两个方面进行判断即可，也就是分别判断是否满足满射和入射条件。

• 判断满射：是否对于代数系统B中的每一个元素，都可以通过映射获得；
• 判断入射：是否对于代数系统B中的每一个元素，都可以表示最多某一个元素的映射结果。

如果只满足满射条件，那么这个同态就是满射同态；如果只满足入射条件，那么这个同态就是入射同态；如果同时满足满射条件和入射条件，那么这个同态就是同构。

例题1：

解析：分别判断映射是否为满射和入射即可。
首先判断满射：由于对于集合B（R）中的负数，无法通过映射f获得，因此该映射不是满射；
接着判断入射：对于集合R中的元素，如果是负数和0，则不能表示为映射的结果，如果是正数，则只能被唯一表示为映射的结果，因此该映射是入射。
综上所述，由于该映射不是满射但是是入射，因此该同态映射为单一同态。

例题2：

解析：
首先判断满射：Zn上的元素为0-(n-1)，对于映射从Z到Zn上的映射，每一个元素都可以被映射到，因此该映射是一个满射。
接着判断入射：由于Zn上的元素均可以表示为多个不同的Z中的元素的映射结果，因此该映射不是入射。
综上所述，由于该映射是满射而非入射，因此该映射是一个满同态映射。

例题3：

解析：
判断满射：对于H中的任意一个元素，都存在一个Z中的元素x，都存在一个Z中的元素x/d可以映射为该元素，因此该映射是一个满射。
判断单射：对于H中的任意一个元素，映射为该元素的Z中的元素都是唯一的，因此该映射是一个入射。
综上所述，该映射满足满射和入射条件，因此是一个同构映射。

例题4：

解析：
判断满射：对于G‘中的任意元素，在G中都存在一个元素，该元素的映射结果是G’中的对应元素，因此该映射是满射。
判断单射：对于G‘中的任意元素，可能在G中存在多个元素能够映射成该元素，因此该映射并非单射。
综上所述，该映射是满射单射不是单射，所以对应的同态为满同态。

3.对于指定的有限群，找出其对应同构的置换群

基本思路：借助底数定理和凯莱定理，按照下面的步骤求解：

1. 作出该运算的二元运算表；
2. 根据二元运算表中的每一行对每一个元素构造相应的置换。

例题1：

解析：
首先作出克莱因四元群的运算表如下：

接着根据运算表中的元素为每一个元素构造相应的置换：

例题2：

解析：作出二元运算表后，每一行对应一种置换，过程略，结果如下：
fe=(e a b)->(e a b)=(1)
fa=(e a b)->(a b e)=(123)
fb=(e a b)->(b e a)=(132)

4.证明某个映射是同构映射

基本思路：需要证明两个代数系统是同构的，只需要分别证明下面三个条件即可：

• 证明该映射是同态映射：也就是满足同态映射的定义。
• 证明该映射是一个满射：也就是对于第二个代数系统中的每一个元素，都可以通过映射获得。
• 证明该映射是一个入射：对于第二个代数系统中的每一个元素，最多只能表示为第一个代数系统中一个元素的映射结果。

例题1：

解析：本题中用于判定一个映射是自同构映射，其实就是判断一个映射是同构映射，根据三个条件进行判定即可。具体过程如下所示：

例题2：

解析：证明过程如下所示：

5.求指定的同态映射的同态核

基本步骤：

1. 求出第二个代数系统的幺元；
2. 在第一个代数系统中找出所有映射结果为第二个代数系统的幺元的元素，这些元素组成的集合就是同态核。

例题1：

解析：本题考查同态核的求解。
①<Z,+>的幺元为0，而73n=0说明n=0，所以同态核为0。
②<Z,+>的幺元为0，而Z中的所有元素映射结果都是0，因此同态核为Z。
③<N5,+5>的幺元为[0]，而Z中5的倍数进行h映射后的结果为[0]，因此同态核为5的倍数。
④<Z,+>的幺元为0，而Z中只有0的映射结果为0，因此同态核为0。

例题2：

解析：本题考查同态映射的判定核同态核的求解。只需要分别进行这两步即可，在此不再赘述。

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