提要

三角形基础知识是研究三角形的基础，要知道三条线段只有满足三边关系才能组成三角形，要知道三角形的高，中线，角平分线是三条线段，要知道它们的有关性质，特别要注意三角形的高的位置与三角形的形状有关，因而解答三角形高有关问题时常需分类讨论。

知识全解

一．三角形的概念及其表示

由不在同一直线上的三条线段组成的图形称为三角形。“三角形”可以用符号“△”表示。

提示：“不在同一直线上”，“三条三段”，“首尾顺次相接”这三个条件，缺一不可。

二．三角形三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

提示：如果三边大小关系明确，看较小的两边的和是否大于第三边；如果三边大小关系没有明确，则有两种思路：一种是看任意两边之和是否大于第三边；另一种是选取两边与第三条边进行比较，看是否满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三．三角形的中线

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点，所得的线段称为三角形的中线。

提示：三角形中线将三角形分成面积相等的三角形。

四．三角形的高

从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段称为三角形的高线，简称三角形的高。

提示：一个三角形有三条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定，如图：

一．三角形的角平分线

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，称为三角形的角平分线。

方法点拨

类型1 三角形高的分类讨论

例1 若BD，CE是△ABC的高，BD，CE所在的直线相交所成的角中有一个角为55度，求∠BAC的度数

【分析】三角形的形状没有明确，故需分以下两种情况进行讨论，如图：

【解答】若△ABC是锐角三角形，如图1所示，因为BD，CE是△ABC的高，∠BAC=180-(180-55)=55,所以∠BAC=55度

若△ABC是钝角三角形，如图2所示，因为BD，CE是△ABC的高，所以∠AEB=∠ADC=90度，

∴∠BAE=55度

∴∠BAC=125度

∴∠BAC为125度或55度

【点评】由于三角形高的分布与三角形形状有关，因而处理三角形的高有关问题时通常需要分类讨论。

类型2 面积的等分

例2 把任意三角形ABC平均分成面积相等的四个部分

【分析】三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分，其原理是等底同高，利用这个原理，我们可将三角形一边若干等分，进而达到将三角形的面积等分的目的。

【解答】本题答案不唯一，举例如下

方案1：如图3所示，在BC上取D,E,F，使BD=DE=EF=FC，连接AD,AE,AF。

方案2：如图4所示，在BC边平均分成四份；D为一个等分点，连接AD。再将AD平均分成三份，等分点为E,F，连接CE,CF，即可分成面积相等的四个三角形。

方案3：如图5所示，取BC边D为两等分点，连接AD，再将BD，AD分别分成两等份，等分点为E,F，连接AE,CF，所得到的四个三角形面积相等。

【点评】利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，三角形的中线可以将原三角形等分，在此基础上又可将分好的三角形再等分，以此类推，我们利用三角形的中线可达到将一个三角形若干等分或按比例分割的目的，且方法不唯一。

类型3 等腰三角形分割问题

例3 在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()

A.7 B.11 C.7或11 D.7或10

【分析】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论

【解答】不妨设等腰三角形腰长为x，底为y，已知条件并没有指明哪一部分是15，哪一部分是12，因此，可分两种情况，根据题意可列方程组

这个等腰三角形的底边长为7或11，线C

【点评】条件中没有明确给出哪一部分长，一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形，这一点非常重要，也是解题的关键。