卡特兰数（简单说说）

2024-06-07 00:56:37

参考题解：
【算法】震惊！！！史上最详细的卡特兰数浅谈！！！
卡特兰数（好像很有用的说）

介绍

卡特兰数是组合数学中一种著名数列，其前几项为：

1, 2, 5, 14, 42,
132, 429, 1430, 4862, 16796,
58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,
35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,

通项式为：
f(n)=C2nnn+1=(2n)!(n+1)!n!f(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}f(n)=n+1C2nn=(n+1)!n!(2n)!
递推式为：
f(n)=∑i=0n−1f(i)∗f(n−i−1)f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)f(n)=∑i=0n−1f(i)∗f(n−i−1)
常用的是通项式变形：
f(n)=C2nn−C2nn−1f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}f(n)=C2nn−C2nn−1

经典问题：

一.01序列问题

给出一个n，要求一个长度为2n的01序列，使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数，
以下为长度为6的序列:
111000 101100 101010 110010 110100

括号问题

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…n,有多少个不同的出栈序列?

多边形划分为三角形问题

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

给顶节点组成二叉树问题

给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能构成h(N)个）

例题：

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洛谷P3200 有趣的数列

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