卡特兰数相关及通项公式简单证明

卡特兰数有两个递推公式，两个通项公式（或者说是一个）：
规定h(0)=1h(0)=1h(0)=1, h(1)=1h(1)=1h(1)=1
hn=∑i=0n−1hihn−ih_n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} h_{i}h_{n-i}hn=i=0∑n−1hihn−i
hn=hn−14n−2n+1h_n=h_{n-1}\frac{4n-2}{n+1}hn=hn−1n+14n−2
hn=C2nn−C2nn−1h_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}hn=C2nn−C2nn−1
hn=C2nnn+1h_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}hn=n+1C2nn
用折线法证明通项公式：

LLL点即为第一次走过y=xy=xy=x的点，绿线和黄线组成了一条非法的路径
现在按照y=x+1y=x+1y=x+1对称，则绿线和蓝线构成了另一条路径
蓝线和黄线总是一一对应的，而蓝线走到的点总是(n−1,n+1)(n-1,n+1)(n−1,n+1)
从原点到A′A'A′的方案数就是C2nn−1C_{2n}^{n-1}C2nn−1，得出通项公式

其他

卡特兰数还代表着什么出栈入栈方案数，二叉树构成方案数，在这就不写了，有兴趣可以去别的博客看
卡特兰数的渐进增长：4nn32π\frac{4^n}{n^{\frac{3}{2}}\sqrt{\pi}}n23π4n
奇数卡特兰数hnh_nhn满足n=2k−1(k=0,1,2...)n=2^k-1(k=0,1,2...)n=2k−1(k=0,1,2...)（注意nnn是第几项的项数）
前几项：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796，注意从第零项开始
图片来源：这里，比我讲的要详细

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