[杂谈] 14. Catalan卡特兰数

文章目录

1. 前言
2. 卡特兰数递推公式推导
3. 卡特兰数性质
4. 卡特兰数简单实例
- 实例1：进出栈问题
- 实例2：进出栈问题变种
- 实例三：电影购票问题
- 实例四：上班路径问题
- 实例五：乘法结合律问题
- 实例六：结合律与三角形划分的对应关系
- 实例七：加括号与三角形划分的对应关系
5. 编程OJ例题
6. 参考资料

1. 前言

Catalan 数是一组比较神奇的数字1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670，不要小看这组数字，它的神秘之处在于：记 C[n] 为 Catalan 数列第 n+1 个数，从0开始，也就是说C[0] = 1 , C[1] = 1 , C[2] = 2 … 结果你会发现：

如果序列1，2，…，n入栈，那么C[n] 就是这组数字出栈的排列种数，也就是对应的 Catalan 数。
对一个有 N + 2 条边的凸多边形(N>=1)用连接顶点的不相交对角线将该多边形拆分成若干三角形，那么 C[n] 就是拆分的方法数，也就是对应的 Catalan 数。
具有 n 个节点的二叉树有多少种呢？C[n]个，也就是对应的 Catalan 数。
给出 n 对括号，括号正确配对的字符串个数就是C[n]对应的 Catalan 数。

更多Catalan数的应用可以查询百度、或者这几篇博文也可：

卡特兰数的应用，你知道几个？

卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

2. 卡特兰数递推公式推导

给出凸多边形的边数 n，求解该凸多边形内部不相交的对角线把这个区域分成三角形区域的方法数。

首先进行初步的分析，当 n = 2， h 2 h_2 h2 = 1，也就是说对于三角形，划分的情况数是 1。由于三角形内部无法添加对角线，所以符合情况的就是三角形本身，情况数为 1。

下面讨论n取任意值的情况，如下图：

考虑将 n + 1 凸边形的子问题，即将 AB 视为基边，枚举 C 的位置，即A、B点除外，有 n - 1 个可枚举位置，然后结合基本的计数原理，能够看到下面的递推式能够不重不漏的表示出h[n]：

而现在的问题在于，这样的递推公式晦涩难懂，期望的形式是斐波那契数列，给出的是前后项的关系式然后可以在线性时间复杂度下求出该数列，那么下面需要讨论的便是如何得到这个递推公式的解：

3. 卡特兰数性质

4. 卡特兰数简单实例

实例1：进出栈问题

栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．如图：

1、2、3、4 顺序进栈，那么一种可能的进出栈顺序是

那么一个足够大的栈的进栈序列 1、2、3、4、5、…、n为时有多少个不同的出栈序列？

首先，每一种进出栈的顺序都与出栈序列一一对应。也就是说，如果用 +1 表示进栈， -1 表示出栈，那么题中示例中的出栈序列 1 3 4 2与进出栈顺序

是对应的。

实例2：进出栈问题变种

实例三：电影购票问题

实例四：上班路径问题

实例五：乘法结合律问题

实例六：结合律与三角形划分的对应关系

实例七：加括号与三角形划分的对应关系

5. 编程OJ例题

都是非常经典的卡特兰数应用：

[洛谷] P4383 [八省联考2018]林克卡特树
[洛谷] P2532 [AHOI2012]树屋阶梯题解
[LeetCode] 96. 不同的二叉搜索树
…

编程大多能用递归、dp解决，但是难度很大，能思维闪现到 Catalan 数这确实方便简单很多，使用高精度，实现高精乘单精、高精除单精以及输出高精就可以啦！

6. 参考资料

https://www.luogu.com.cn/problem/list?keyword=%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0&page=1
https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5857927.html
http://lanqi.org/interests/10939/（数学大牛兰琦，高中就买了他的数学参考数，确实很顶！）