今天我们来讲一下树链剖分

树链剖分是什么？

树链剖分是一种用来维护树上路径信息的在线方法，可以处理在线。

通常通过一种方法，将一棵树剖分成若干条链，然后通过数据结构（线段树，BIT等）去维护。

我们通常所说的树链剖分，基本都是轻重链剖分。

下面我们介绍一下这一种剖分。

学习树链剖分的基础知识有lca，dfs序，线段树等。

首先，我们来明确即可变量。

\(size_i\)表示以\(i\)为子树的大小，包括\(i\)

\(heavy_i\)表示\(i\)的所有儿子\(j\)中\(size_j\)最大的一个

连接\(i\)和\(heavy_i\)的边称为重边(\(heavy\) \(edges\))，其余为轻边(\(light\) \(edges\))

当好多条重边首尾相连，形成了一条更大的重边时，我们称这个重边的集合叫重链（\(heavy\) \(path\)）

因为不可能有两条重链相交（根据重链定义可知），所以整棵树被划分成了若干条互不相交的重链。

举个例子

红色的边是重边，黑色是轻边。1-2-4-8-16构成了一条重链。

其中所有的重链都不相交

再给一些剖分的性质。

1. 每个点只属于一个重链。
2. 不可能有两条重链相邻。
3. 从一个点开始，重复"重链顶端-->跳一条轻边"这个过程，必定能到根
4. 按上述方法跳，必定能在\(O(logn)\)步到达顶点。

给一下第4条的证明。

如果一条边是重链，那他一次肯定能跳到重链顶端，这样很快，

而没经过一条轻边，根据重链的定义，轻边所在子树\(size\)< \(\frac{1}{2}\) 所有子树\(size\) ，则没经过一条轻边，该点得子树大小必定\(*2\)甚至更多，则只会有\(O(logn)\)次。

那我们怎么通过代码处理轻重边剖分？

一种经典的处理方法如下。

设
\(father_x\)表示\(x\)的父亲节点
\(size_x\)表示\(x\)的子树大小
\(deep_x\)表示\(x\)的深度
\(heavy_x\)表示\(x\)的重儿子
\(top_x\) 表示\(x\)的重链顶点

处理以上几个数组通常使用两遍dfs处理。

第一次构建前4个数组

第二次本质是对重链进行标号与整理

每次遍历到某点时，先递归它的重儿子，

在递归他的轻儿子，它的重链顶端就是自己

顺便处理\(top_x\)

两遍dfs代码：

void dfs1(int rt){size[rt]=1;for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt]) continue ; fa[to]=rt;dep[to]=dep[rt]+1 ;//信息 dfs1(to) ;size[rt]+=size[to] ;if (!hson[rt] || size[to]>size[hson[rt]]) hson[rt]=to ;//处理重儿子 }
}
void dfs2(int rt,int t){top[rt]=t ;if (!hson[rt]) return ;dfs2(hson[rt],t) ;//先递归重儿子 for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt] || to==hson[rt]) continue ;dfs2(to,to) ;//轻边顶端为自己 }
}

之后，我们用线段树维护每条重链的信息（在实际操作中，轻边也算作重链）

在此同时，我们需要记录每个节点的时间戳\(dfn_x\)，同样最好记录每个\(dfn_x\)对应的节点，我们用\(seq_x\)表示。

这两个操作也非常简单，只需在dfs2初始时加这两句话：

    dfn[rt]=++tot ;seq[tot]=rt ;

因为我们是先处理重儿子的，所以重链的节点肯定会被放在线段树的同一个区间中，这样方便线段树操作。

之后上面的剖分过程大体就结束了。

树链剖分能够暴力求出两两点的\(lca\)

为何说暴力，因为它不像倍增一样要枚举\(2^j\)步，他就是每次跳，而且时间复杂度有保障!

我们来讲一讲这个过程。

先上一张图

如果要查询9和11的lca，我们手动模拟一下：

1.首先11的dep较大，11跳至1（\(fa[top[11]]\)）
因为\(top[9]=top[11]，\)所以结束循环，判定深度小的位\(lca\)即可

void lca(int x,int y){int fx=top[x],fy=top[y] ;while(fx!=fy){if (dep[x]<dep[y]){ //跳x swap(x,y) ;swap(fx,fy) ;}x=fa[fx];fx=top[x] ;}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y) ;return y ;
} 

了解了树剖解救lca的过程，基本你已经掌握了树剖了，只差来几道例题，我们不妨讲解几道例题，更深入了解树剖一下。

我们拿BZOJ 1036 树的统计 举个例子。

它让你动态干三件事：

1. 把某个点的权值改成t
2. 询问x到y的路径上的节点权值的最大值
3. 询问x到y的路径上的所以节点权值的和

这是一个树链剖分的裸题。

他让我们动态维护两两点的路径信息。

假设我们剖分写好了，线段树也建好了，我们该怎么求出x到y的路径上的节点权值的最大值和总和呢？

举个例子。

同样是9和11的例子。

11跳到1，我们已经维护2~11的最大值和和，为3和6

之后维护1到9的最大值和和，为5和10

MAX=5 SUM=16

int linkmax(int x,int y){ //链上最大值int fx=top[x],fy=top[y],ans=-inf ;while(fx!=fy){if (dep[fx]<dep[fy]){swap(x,y) ;swap(fx,fy) ;} ans=max(ans,qmax(1,dfn[fx],dfn[x])) ;x=fa[fx] ;fx=top[x] ;}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y) ;//在同一条重链上 ans=max(ans,qmax(1,dfn[x],dfn[y])) ;return ans ;
}
int linksum(int x,int y){ //链上和int fx=top[x],fy=top[y],ans=0 ;while(fx!=fy){if (dep[fx]<dep[fy]){swap(x,y) ;swap(fx,fy) ;}ans+=qsum(1,dfn[fx],dfn[x]) ;x=fa[fx] ;fx=top[x] ;}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y) ;ans+=qsum(1,dfn[x],dfn[y]) ;return ans ;
}

建议自己手动模拟一下，对于理解算法有很大作用

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int N = 30010 ;
const int inf = (1<<30) ;
#define rep(i,a,b) for (int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define REP(i,a,b) for (int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define ls ((rt)<<1)
#define rs ((rt)<<1|1)
typedef long long ll ;vector <int> e[N] ;
int a[N],size[N],fa[N],dep[N],hson[N],top[N],dfn[N],seq[N] ;
int n,Q,tot,x,y,u,t ;
char op[20] ;struct node{int l,r,Max,sum;}tr[N<<2];void dfs1(int rt){size[rt]=1;for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt]) continue ; fa[to]=rt;dep[to]=dep[rt]+1 ;dfs1(to) ;size[rt]+=size[to] ;if (!hson[rt] || size[to]>size[hson[rt]]) hson[rt]=to ;}
}
void dfs2(int rt,int t){top[rt]=t ;dfn[rt]=++tot ;seq[tot]=rt ;if (!hson[rt]) return ;dfs2(hson[rt],t) ;for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt] || to==hson[rt]) continue ;dfs2(to,to) ;}
}
inline void pushup(int rt){tr[rt].Max=max(tr[ls].Max,tr[rs].Max) ;tr[rt].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum ;
}
void build(int rt,int l,int r){tr[rt].l=l;tr[rt].r=r ;if (l==r){tr[rt].Max=tr[rt].sum=a[seq[l]] ;return ; }int mid=(l+r)>>1;build(ls,l,mid) ;build(rs,mid+1,r) ;pushup(rt) ;
}
void modify(int rt,int pos){if (tr[rt].l==tr[rt].r){tr[rt].Max=tr[rt].sum=a[seq[tr[rt].l]] ;return ;}int mid=(tr[rt].l+tr[rt].r)>>1 ;if (pos<=mid) modify(ls,pos) ;else modify(rs,pos) ;pushup(rt) ;
}
int qmax(int rt,int l,int r){if (l<=tr[rt].l && tr[rt].r<=r) return tr[rt].Max ;int mid=(tr[rt].l+tr[rt].r)>>1 ;if (r<=mid) return qmax(ls,l,r) ;if (l>mid) return qmax(rs,l,r) ;return max(qmax(ls,l,r),qmax(rs,l,r)) ;
}
int qsum(int rt,int l,int r){if (l<=tr[rt].l && tr[rt].r<=r) return tr[rt].sum ;int mid=(tr[rt].l+tr[rt].r)>>1 ;if (r<=mid) return qsum(ls,l,r) ;if (l>mid) return qsum(rs,l,r) ;return qsum(ls,l,r)+qsum(rs,l,r) ;
}
int linkmax(int x,int y){int fx=top[x],fy=top[y],ans=-inf ;while(fx!=fy){if (dep[fx]<dep[fy]){swap(x,y) ;swap(fx,fy) ;} ans=max(ans,qmax(1,dfn[fx],dfn[x])) ;x=fa[fx] ;fx=top[x] ;}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y) ;//在同一条重链上 ans=max(ans,qmax(1,dfn[x],dfn[y])) ;return ans ;
}
int linksum(int x,int y){int fx=top[x],fy=top[y],ans=0 ;while(fx!=fy){if (dep[fx]<dep[fy]){swap(x,y) ;swap(fx,fy) ;}ans+=qsum(1,dfn[fx],dfn[x]) ;x=fa[fx] ;fx=top[x] ;}if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y) ;ans+=qsum(1,dfn[x],dfn[y]) ;return ans ;
}
int main(){scanf("%d",&n) ;for (int i=1;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y) ;e[x].push_back(y) ; e[y].push_back(x) ;}for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]) ;fa[1]=0;dep[1]=1; dfs1(1) ;dfs2(1,1) ;build(1,1,n) ;scanf("%d",&Q) ;while(Q--){scanf("%s%d%d",op,&u,&t) ;if (op[0]=='C') a[u]=t,modify(1,dfn[u]) ;else if (op[1]=='M') printf("%d\n",linkmax(u,t)) ;else if (op[1]=='S') printf("%d\n",linksum(u,t)) ;}
}

一道双倍经验题：【模板】树链剖分

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010 ;
#define int long long
struct edge{int to,next ;
}e[N<<1];
int head[N],f[N],dep[N],size[N],son[N],rk[N],top[N],dfn[N];
int a[N];
//f[i]:i的父亲,dep[i]:i的深度,size[i]:i的子树大小,son[i]:重儿子 ,rk[i]:i的dfs值，与dfn相反
//top[i]:i所在链的顶端,dfn[i]:dfs序，时间戳
int n,m,rt,tot,cnt;
int p,r ;
inline void add(int x,int y){e[++cnt].to=y;e[cnt].next=head[x] ;head[x]=cnt ;
}
void dfs1(int rt,int fa,int depth){ //主要处理深度，父亲和儿子 f[rt]=fa;dep[rt]=depth;size[rt]=1;//一些初始化 for (int i=head[rt];i;i=e[i].next){int to=e[i].to ;if (to==fa) continue ;//保证不是父亲 dfs1(to,rt,depth+1) ;size[rt]+=size[to] ;//rt的大小+子树的大小 if (size[son[rt]]<size[to]) son[rt]=to ;//改变重儿子 }return ;
}
void dfs2(int rt,int t){ //主要处理链，dfs序 top[rt]=t;dfn[rt]=++cnt;rk[cnt]=rt;//初始化if (!son[rt]) return ;//该点没有重儿子 dfs2(son[rt],t) ;//rt的重儿子也是和rt一样处于以t为顶端的重链 for (int i=head[rt];i;i=e[i].next){int to=e[i].to ;if (to!=f[rt] && to!=son[rt]) dfs2(to,to) ;//一个点位于轻链底端，那么它的top必然是它本身}return ;
}
struct seg{ //线段树 int ls,rs,lazy,l,r;int sum ;
}tree[N<<1];
inline void pushup(int rt){tree[rt].sum=(tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum+tree[rt].lazy*(tree[rt].r-tree[rt].l+1))%p;return ;
}
void build(int ll,int rr,int rt){ //createif (ll==rr){tree[rt].l=tree[rt].r=ll ;tree[rt].sum=a[rk[ll]] ;return ;}else {int mid=(ll+rr)>>1;tree[rt].ls=cnt++ ;tree[rt].rs=cnt++ ;build(ll,mid,tree[rt].ls) ;build(mid+1,rr,tree[rt].rs) ;tree[rt].l=tree[tree[rt].ls].l ;tree[rt].r=tree[tree[rt].rs].r ;pushup(rt) ;}return ;
}
void update(int l,int r,int rt,int c){ //l~r +c if (l<=tree[rt].l && tree[rt].r<=r) {tree[rt].sum=(tree[rt].sum+c*(tree[rt].r-tree[rt].l+1))%p ;tree[rt].lazy=(tree[rt].lazy+c)%p ;}else {int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1 ;if (l<=mid) update(l,r,tree[rt].ls,c) ;if (mid<r) update(l,r,tree[rt].rs,c) ;pushup(rt) ;}return ;
}
int query(int l,int r,int rt){if (l<=tree[rt].l && tree[rt].r<=r) return tree[rt].sum ;int tot=(tree[rt].lazy*(min(r,tree[rt].r)-max(l,tree[rt].l)+1)%p)%p ;//初始值int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1 ;if (l<=mid) tot=(tot+query(l,r,tree[rt].ls))%p ;if (mid<r)  tot=(tot+query(l,r,tree[rt].rs))%p ;return tot%p ;
}
inline int sum(int x,int y){int ans=0;int fx=top[x],fy=top[y] ;while (fx!=fy){if (dep[fx]>=dep[fy]) {ans=(ans+query(dfn[fx],dfn[x],rt))%p ;x=f[fx],fx=top[x] ;}else {ans=(ans+query(dfn[fy],dfn[y],rt))%p ;y=f[fy],fy=top[y] ;}} if (dfn[x]<=dfn[y]) ans=(ans+query(dfn[x],dfn[y],rt))%p ;else ans=(ans+query(dfn[y],dfn[x],rt))%p ;return ans%p ;
}
inline void UPDATE(int x,int y,int c){int fx=top[x],fy=top[y];while(fx!=fy){if(dep[fx]>=dep[fy]){update(dfn[fx],dfn[x],rt,c) ;x=f[fx],fx=top[x];}else {update(dfn[fy],dfn[y],rt,c) ;y=f[fy],fy=top[y];}}if (dfn[x]<=dfn[y]) update(dfn[x],dfn[y],rt,c) ;else update(dfn[y],dfn[x],rt,c) ;return ;
}
main(){scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&p) ;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]) ;for (int i=1;i<n;i++){int x,y ;scanf("%lld%lld",&x,&y) ;add(x,y);add(y,x) ;}cnt=0 ;dfs1(r,0,1) ;dfs2(r,r) ;cnt=0;rt=cnt++ ;build(1,n,rt);
//  return 0 ; for (int i=1;i<=m;i++){//   cout<<i<<endl ;int x,y,op ;int z ;scanf("%lld",&op);if (op==1){scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z) ;UPDATE(x,y,z) ; }else if (op==2){scanf("%lld%lld",&x,&y) ;printf("%lld\n",sum(x,y)) ;}else if (op==3){scanf("%lld%lld",&x,&z) ;update(dfn[x],dfn[x]+size[x]-1,rt,z) ; }else {scanf("%lld",&x) ;printf("%lld\n",query(dfn[x],dfn[x]+size[x]-1,rt)) ;}}
}

再来一道例题。

BZOJ 4196 NOI2015 软件包管理器

这个问题是动态删链，动态加链的过程。

这题其实比上题还简单，直接维护线段树即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int N = 100010 ;
const int inf = (1<<30) ;
#define rep(i,a,b) for (int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define REP(i,a,b) for (int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define ls ((rt)<<1)
#define rs ((rt)<<1|1)typedef long long ll ;vector <int> e[N] ;
int size[N],fa[N],dep[N],top[N],hson[N],dfn[N] ;
int n,m,tot,x ;
char op[20] ;
struct node{int l,r,sum,lazy ;
}tr[N<<2];void dfs1(int rt){size[rt]=1 ;for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt]) continue ;fa[to]=rt;dep[to]=dep[rt]+1; dfs1(to) ;size[rt]+=size[to] ;if (!hson[rt] || size[to]>size[hson[rt]]) hson[rt]=to ;}
}void dfs2(int rt,int t){top[rt]=t;dfn[rt]=++tot;if (!hson[rt]) return ;dfs2(hson[rt],t) ;for (int i=0;i<e[rt].size();i++){int to=e[rt][i] ;if (to==fa[rt] || to==hson[rt]) continue ;dfs2(to,to) ;}
}
inline void pushup(int rt){tr[rt].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum ;
}
void build(int rt,int l,int r){tr[rt].l=l;tr[rt].r=r,tr[rt].lazy=-1;if (l==r) return ;int mid=(l+r)>>1 ;build(ls,l,mid) ;build(rs,mid+1,r) ;pushup(rt) ;
}
inline void pushdown(int rt){ if (tr[rt].lazy==-1) return ;tr[ls].sum=tr[rt].lazy*(tr[ls].r-tr[ls].l+1) ;tr[rs].sum=tr[rt].lazy*(tr[rs].r-tr[rs].l+1) ;tr[ls].lazy=tr[rt].lazy ;tr[rs].lazy=tr[rt].lazy ;tr[rt].lazy=-1 ;
}
void modify(int rt,int l,int r,int c){  if (l<=tr[rt].l && tr[rt].r<=r) {tr[rt].sum=c*(tr[rt].r-tr[rt].l+1) ;tr[rt].lazy=c ;return ;}pushdown(rt) ; int mid=(tr[rt].l+tr[rt].r)>>1 ;if (l<=mid) modify(ls,l,r,c) ;if (r>mid) modify(rs,l,r,c) ;pushup(rt) ;
}
int query(int rt,int l,int r){if (l<=tr[rt].l && tr[rt].r<=r) return tr[rt].sum ;pushdown(rt) ;int res=0,mid=(tr[rt].l+tr[rt].r)>>1 ;if (l<=mid) res+=query(ls,l,r) ;if (r>mid) res+=query(rs,l,r) ;return res ;
}
int sum(int x){int ans=0,fx=top[x] ;while (fx!=1){ans+=dfn[x]-dfn[fx]-query(1,dfn[fx],dfn[x])+1 ;modify(1,dfn[fx],dfn[x],1) ;x=fa[fx] ;fx=top[x] ;}ans+=dfn[x]-dfn[1]-query(1,dfn[1],dfn[x])+1 ;modify(1,dfn[1],dfn[x],1) ;return ans ;
}
int main(){scanf("%d",&n) ;for (int i=2;i<=n;i++) {scanf("%d",&x) ;x++ ; e[x].push_back(i) ;e[i].push_back(x) ;}fa[1]=0;dep[1]=1 ;dfs1(1) ;dfs2(1,1) ;build(1,1,n) ;scanf("%d",&m) ;for (int i=1;i<=m;i++){scanf("%s%d",&op,&x) ;x++ ;if (op[0]=='i') printf("%d\n",sum(x)) ;else {printf("%d\n",query(1,dfn[x],dfn[x]+size[x]-1)) ;modify(1,dfn[x],dfn[x]+size[x]-1,0) ;}}
}

都理解了， 来几道习题练练

Aragorn's Story

[HAOI2015]树上操作

月下“毛景树”

蒟蒻第一次写关于算法的博客，有问题或建议请及时提出，在评论区中发表，博主将及时更改，谢谢阅读！