HDU - 3804 Query on a tree(树链剖分+线段树+离线处理)

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题目大意：给出一棵树，每条边上都有一个权值，给出m个查询：a，b：问从点1到点a的唯一路径上，在边权小于等于b的边中选出边权最大的值输出，若没有符合条件的边则输出-1；

题目分析：如果还不清楚树链剖分，这里有一个讲的很棒的博客：点击查看

然后看到这里就默认已经掌握了树链剖分和线段树的基础知识了。

下面分析一下这个题目的思路，题目很好理解，但如果直接暴力模拟的话必定超时，所以我们应该转换为logn级别的复杂度再下手，关于求不超过一个值的这种题，之前我做过一个不在树上的，是问玛丽奥能跳多高的一个题，用到的方法是离线处理，然后给查询按照高度排序，最后根据根据从低到高遍历，每次加入不超过此次高度的点，用线段树维护数量即可，这个题目也是类似，因为最后要求的是满足条件的最大值，所以我们可以用线段树维护区间内的最大值，然后为了让所得到的结果都能满足条件，我们可以先将m个查询储存下来，离线处理，按照权值从小到大排序，每次插入小于等于该权值的边，然后再用线段树查询区间即可，思路是有了，我们接下来的问题就是，如何将刚才的思路在树上实现呢，因为学习了dfs序，学会了可以将树上的点转化为线性的已知条件来使用，但dfs序的前提是必须是有关于祖先和子节点的问题，而这个题目的前提是必须在树上的一条链上。

所以这篇博客一开始我就让大家先学习了一下树链剖分的知识。树链剖分，顾名思义，就是将一棵树，分成一条一条的链子，这样就形成了一种线性结构，就可以利用上面的思路在树上实现了。我在大体的讲一下如何在树上用树链剖分来实现这个题目：

首先，我们先用树链剖分，找出每条重链，然后依据重链的顺序，依次给每个点进行重新编号，让每条重链上的点都挨在一起，这样的目的就是方便使用线段树进行查询。然后再用一个辅助数组记录每条重链的端点，也就是每条重链上深度最小的那个点，如果一条重链上只有一个点，那么该点的端点就是它本身。我们现在已经完成这两个操作后就可以利用线段树进行模拟了，因为我们经过树链剖分的处理后，每个节点都获得了一个全新的序号，那么我们按照新的序号进行建树，接下来的所有操作，无论是查询还是更新，都是基于新的序号来处理的，这里务必要理解！！接着按照上述思路进行，首先要对每条边进行处理，因为权值都在边上，我们不太好操作，所以我们将权值转移到点上，转移到终点上即可，比如u->v的权值为w，那么就记为点v的权值为w，然后对m个查询先储存下来并排序处理，随后遍历一遍每个查询，然后将小于等于该查询的点加入到线段树中，意思就是将权值小于等于该查询的点加入到线段树中，更新最大值，等到权值小于等于该查询的所有点都已经加入到线段树中后，对该查询进行求结果的处理，我们该怎么求结果呢？因为如果放在树上来说，起点是点1，终点是查询中的点a，那么我们需要遍历一边点1到点a的路径（路径一定是唯一的），扫一遍路径并维护最大值即可，那么我们首先要确定点a和点1的关系，即点a和点1是否在一条重链上，因为点1是整棵树的根节点，所以点1的端点就是1，我们先看一下点a的端点是什么：

如果点a的端点是点1的话，那么点a和点1都在一条重链上，刚才我们已经将一条重链上的点都重新编号，并让他们挨在一起了，所以我们现在只需要查询点1的新编号到点a的新编号这个区间内的最大值就是答案了。
如果点a的端点不是点1，那么说明点a和点1不在一条重链上，我们可以先沿着点a走到点a的端点上，然后在走到端点的父节点上，然后在顺着走到端点的父节点的端点上，以此类推一直往上走，直到走到点1为止，这段路径一定是唯一的

因为无论很麻烦的走，还是很简单的走，点a到点1的路径都是唯一的（因为在树上两点之间的路径一定是唯一的），又因为每条重链上的点的编号都是相互挨着的，所以当我们在每条重链上经过的时候，都可以利用线段树来查询这段路上满足条件的最大值，直到走到点1为止，这样最后的答案就一定是一路上维护而来的最大值了。

对了，这个题目中好像不需要记录深度这个属性，因为点1作为起点，它的深度一定是最小的，因为是总根节点嘛，不过写都写了，就当是练习了一下树链剖分的模板吧-.-

一定要记住！！要用新的编号来建树，用新的编号来操作！！刚学树链剖分的时候就是这里不太理解，导致看别人的例程都看不懂。。上代码了，更多的细节在注释中解释：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;
/***************************************************************************/
//以下是简单的线段树维护最大值，不多解释了，点更新+区间查询
//因为不习惯写类，还是都拆散开都把函数放到外面来舒服点
struct vvv
{int id,w;bool operator<(vvv a)const{return w<a.w;}
}val[N];struct Node
{int l,r,mmax;
}tree[N<<2];void build(int k,int l,int r)
{tree[k].l=l;tree[k].r=r;tree[k].mmax=0;if(l==r)return;int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
}void pushup(int k)
{tree[k].mmax=max(tree[k<<1].mmax,tree[k<<1|1].mmax);
}void update(int k,int pos,int val)
{if(tree[k].l==tree[k].r){tree[k].mmax=val;return;}int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1;if(mid>=pos)update(k<<1,pos,val);elseupdate(k<<1|1,pos,val);pushup(k);
}int query(int k,int l,int r)
{if(tree[k].l>r||tree[k].r<l)return 0;if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r)return tree[k].mmax;return max(query(k<<1,l,r),query(k<<1|1,l,r));
}
//线段树到此为止
/***************************************************************************/
struct edge
{int u,v,w;bool operator<(edge a)const{return w<a.w;}
}edge[N];//结构体存边，用于在给每个节点重新编号后，给其赋权值vector<int>node[N];//vector存边int num[N],son[N],fa[N],deep[N];//num：子树大小，son：重儿子，fa：父节点，deep：深度void dfs1(int u,int f,int d)//求fa，num，deep，son
{num[u]=1;fa[u]=f;deep[u]=d;son[u]=0;for(int i=0;i<node[u].size();i++){int v=node[u][i];if(v==f)continue;dfs1(v,u,d+1);num[u]+=num[v];if(!son[u]||num[son[u]]<num[v]){son[u]=v;}}
}int top[N],id[N],cnt;//top：重链的端点，id：全新的编号void dfs2(int u,int root)//求top，id
{top[u]=root;id[u]=++cnt;if(son[u])dfs2(son[u],root);for(int i=0;i<node[u].size();i++){int v=node[u][i];if(v==son[u]||v==fa[u])continue;dfs2(v,v);}
} struct qu
{int id,w,ind,ans;//id：第几个查询，w：查询的权值，ind：查询的点，ans：查询的结果bool operator<(qu a)const{return w<a.w;}
}ans[N];//存查询信息int solve(int pos)//扫一遍对于查询的点到达点1的路径，并维护最大值
{int ans=0;while(top[pos]!=1)//如果不在同一条重链上{ans=max(ans,query(1,id[top[pos]],id[pos]));//维护目前重链上的最大值pos=fa[top[pos]];//走到父节点所在的重链上}ans=max(ans,query(1,id[top[pos]],id[pos]));//当点pos和点1处于同一条重链后会跳出while，所以最后需要再维护一下最大值if(ans==0)//别忘了如果不符合条件返回-1return -1;elsereturn ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);int w;cin>>w;while(w--){int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)node[i].clear();for(int i=1;i<n;i++)//存边{int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);edge[i].u=u;edge[i].v=v;edge[i].w=w;node[u].push_back(v);node[v].push_back(u);}dfs1(1,-1,1);cnt=0;dfs2(1,1);int q;scanf("%d",&q);for(int i=1;i<=q;i++)//存查询{scanf("%d%d",&ans[i].ind,&ans[i].w);ans[i].id=i;}sort(ans+1,ans+1+q);//排序离线处理for(int i=1;i<n;i++){int u=edge[i].u;int v=edge[i].v;int w=edge[i].w;if(deep[u]>deep[v])swap(u,v);val[id[v]].id=id[v];val[id[v]].w=w;}sort(val+2,val+n+1);//不包含点1的其余n-1个点int t=2;build(1,1,n);for(int i=1;i<=q;i++){int w=ans[i].w;int id=ans[i].id;while(val[t].w<=w&&t<=n)//注意这里判断边界，一个是判断小于等于查询权值，一个是判断t不能越界{update(1,val[t].id,val[t].w);t++;}ans[id].ans=solve(ans[i].ind);} for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i].ans);}return 0;
}

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