问题来源

Timus Online Judge 网站上有这么一道题目:1356. Something Easier。这道题目的输入是一组  2 到 109 之间整数,对于每个输入的整数,要求用最少个数的素数的和来表示。这道题目的时间限制是 1 秒。

问题解答

我们知道著名的哥德巴赫猜想是:

任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和

于是我们有以下的 C 语言程序(1356.c):

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1356
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>// http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
#define PRIME_MAX 10000
#define PRIME_COUNT 1229typedef unsigned long long U8;
typedef char bool;const bool true = 1;
const bool false = 0;// http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
bool* getSieve(int max)
{static bool sieve[(PRIME_MAX >> 1) + 1];int i, j, imax = sqrt(max);for (i = 3; i <= imax; i += 2)if (!sieve[i >> 1])for (j = i * i; j <= max; j += i << 1) sieve[j >> 1] = true;return sieve;
}int* getPrimes(int max)
{static int primes[PRIME_COUNT + 1];bool *sieve = getSieve(max);int i, j = 0;for (primes[j++] = 2, i = 3; i <= max; i += 2)if (!sieve[i >> 1]) primes[j++] = i;return primes;
}U8 modMultiply(U8 a, U8 b, U8 m)
{return a * b % m;
}U8 modPow(U8 a, U8 b, U8 m)
{U8 v = 1, p;for (p = a % m; b > 0; b >>= 1, p = modMultiply(p, p, m))if (b & 1) v = modMultiply(v, p, m);return v;
}bool witness(U8 a, U8 n)
{U8 n1 = n - 1, s2 = n1 & -n1, x = modPow(a, n1 / s2, n);if (x == 1 || x == n1) return false;for (; s2 > 1; s2 >>= 1){x = modMultiply(x, x, n);if (x == 1) return true;if (x == n1) return false;}return true;
}U8 random(U8 high)
{// http://www.cppreference.com/wiki/c/other/randreturn (U8)(high * (rand() / (double)RAND_MAX));
}// http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test
// n, an integer to be tested for primality
// k, a parameter that determines the accuracy of the test
bool probablyPrime(U8 n, int k)
{if (n == 2 || n == 3) return 1;if (n < 2 || n % 2 == 0) return 0;while (k-- > 0) if (witness(random(n - 3) + 2, n)) return false;return true;
}bool isPrime(int n)
{return probablyPrime(n, 2);
}int outEven(int primes[], int n)
{int i, p, q;for (i = 0; (p = primes[i]) != 0; i++)if (isPrime(q = n - p))return printf("%d %d", p, q);return printf("error:%d", n);
}int main(void)
{int t, n, *primes = getPrimes(PRIME_MAX);srand(time(NULL));scanf("%d", &t);while (t-- > 0){scanf("%d", &n);if (isPrime(n)) printf("%d", n);else if ((n & 1) == 0) outEven(primes, n);else if (isPrime(n - 2)) printf("2 %d", n - 2);else printf("3 "), outEven(primes, n - 3);puts("");}return 0;
}

上述程序分析如下:

  • 根据哥德巴赫猜想,充分大的偶数 n = p + q,这里 p <= q 是素数。我们猜测当 n <= 109 时,p < 104。第 8 行就是定义 p 的最大值。
  • 根据素数定理,我们知道 104 以内的素数有 1229 个。第 9 行就是定义程序中要用到的素数的个数。
  • 第 17 到 26 行的 getSieve 函数用埃拉托斯特尼筛法筛选出素数。
  • 第 28 到 36 行的 getPrimes 函数从筛中取出这些素数。
  • 第 38 到 79 行的一系列函数最终是为了 probablyPrime 函数,用于检测素数。请参见我在2010年7月写的随笔:【算法】米勒-拉宾素性检验。
  • 第 81 到 84 行的 isPrime 函数调用 probablyPrime 函数来检测素数。
  • 第 86 到 93 行的 outEven 函数对大于 2 的偶数验证哥德巴赫猜想,即输出一对素数 p 和 q。
  • 第 95 到 110 行是 main 函数。其中:
  • 第 103 行处理 n 是素数的情况,直接输出该素数(包括素数 2,所以 outEven 函数处理的偶数肯定大于 2)。
  • 第 104 行对大于 2 的偶数输出一对素数(通过调用 outEven 函数,强哥德巴赫猜想)。
  • 第 105 行处理大于 5 的奇数能够分解为 2 和另外一个素数的和的情况(注意不要遗漏这个情形!)。
  • 第 106 行处理大于 5 的奇数的其他情况,首先输出一个 3,然后调用 outEven 函数处理偶数 n - 3 (弱哥德巴赫猜想)。

上述程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.015 秒。

参考资料

  1. Wikipedia: Goldbach's conjecture
  2. Wikipedia: Prime number theorem
  3. Wikipedia: Sieve of Eratosthenes
  4. Wikipedia: Miller–Rabin primality test
  5. 【算法】米勒-拉宾素性检验

更多的 ACM 题的解法请参见:Timus 目录。

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