应用泛函分析—线性空间

空间指一个赋予了某种结构的非空集合

定义

数域FFF上的非空集合XXX被赋予满足下列8条公理（axiom）的加法与数乘运算，则称线性空间（向量空间）。
加法运算：X+X→XX+X\rightarrow XX+X→X（加法封闭）
数乘运算：F×X→XF\times X \rightarrow XF×X→X（数乘封闭）
1、加法交换律（Commutativity ），x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x
2、加法结合律（Associativity），(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)
3、加法逆元素（Inverse elements），∀x∈X,∃−x∈X,\forall x\in X, \exist -x \in X,∀x∈X,∃−x∈X, s.t. x+(−x)=0x+(-x)=0x+(−x)=0
4、加法单位元（Identity element ），∀x∈X,∃0∈V,\forall x\in X, \exist 0 \in V,∀x∈X,∃0∈V, s.t. 0+x=x0+x=x0+x=x
5、数乘单位元，1⋅x=x1\cdot x = x1⋅x=x
6、数乘分配律，(α+β)x=αx+βx(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x(α+β)x=αx+βx
7、数乘分配律，α(x+y)=αx+αy\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha yα(x+y)=αx+αy
8、数乘结合律，α(βx)=(αβ)x\alpha (\beta x)= (\alpha \beta)xα(βx)=(αβ)x
其中，x,y∈Xx,y \in Xx,y∈X，α,β∈K\alpha, \beta\in Kα,β∈K

实例

1、RnR^nRn，特例：RRR
2、Rm×nR^{m \times n}Rm×n
3、有界序列空间l∞l^{\infty}l∞
4、系数次数小于等n的多项式空间PnP^nPn
5、连续函数空间C[a,b]C[a,b]C[a,b]
6、k阶连续可导函数空间Ck[a,b]C^k[a,b]Ck[a,b]
注：多项式f(t)=a0+a1t+...+an−1tn−1f(t)= a_0 + a_1 t + ... + a_{n-1} t^{n-1}f(t)=a0+a1t+...+an−1tn−1，f(t)=a0≠0f(t) = a_0 \neq 0f(t)=a0=0为零次多项式，f(t)=a0=0f(t) = a_0 =0f(t)=a0=0为零多项式
注：LpL^pLp表示函数空间，lpl^plp表示序列空间，字母lll表示Lebesgue。

基与维数

线性空间XXX中存在nnn个线性无关的元素{e1,e2,...,en}\{e_1, e_2, ..., e_n\}{e1,e2,...,en}，使得XXX的任一元素xxx可由{e1,e2,...,en}\{e_1, e_2, ..., e_n\}{e1,e2,...,en}线性表示，则称{e1,e2,...,en}\{e_1, e_2, ..., e_n\}{e1,e2,...,en}为XXX的一组基，nnn称为线性空间的维数

同构

两个线性空间X,YX, YX,Y存在一一对应关系ϕ\phiϕ，如果ϕ\phiϕ是线性算子，则称X,YX, YX,Y（线性）同构。
注：可逆的线性变换便称为同构
注：线性变换、线性算子、线性映射等价

同构实例：
1、任一n维实线性空间都与RnR_nRn同构
2、PnP_nPn与Rn+1R_{n+1}Rn+1，前者的元素为a0+a1t+...+antna_0+a_1t + ...+a_n t_na0+a1t+...+antn，后者的元素为[a0,a1,...,an][a_0, a_1, ..., a_n][a0,a1,...,an]

子空间与凸集

数域KKK上的线性空间EEE，L⊂EL \subset EL⊂E，∀x,y∈L;λ,μ∈K\forall x, y \in L; \lambda, \mu \in K∀x,y∈L;λ,μ∈K，∃λx+μy∈L\exist \lambda x + \mu y \in L∃λx+μy∈L，则称LLL为EEE的子空间。

子空间实例：
1、任何过原点的平面都是R3R_3R3的二维子空间，任何过原点的直线都是R3R_3R3的一维子空间
2、n元齐次线性方程组的解的全体（解空间）为RnR_nRn的子空间，该子空间的维数为n−rn-rn−r，rrr为系数矩阵的秩

L1,L2⊂EL_1, L_2 \subset EL1,L2⊂E，∀x∈E\forall x \in E∀x∈E，∃x=x1+x2,x1∈L1,x2∈L2\exist x=x_1 + x_2, x_1 \in L_1, x_2 \in L_2∃x=x1+x2,x1∈L1,x2∈L2，则称EEE是L1,L2L_1, L_2L1,L2的直和，记作E=L1⊕L2E = L_1 \oplus L_2E=L1⊕L2

平移后的子空间称为仿射流形，线性流形，线性簇
L⊂E,x0∈EL \subset E, x_0 \in EL⊂E,x0∈E
x0+L={x0+L;l∈L}x_0 + L = \{ x_0 + L; l\in L \}x0+L={x0+L;l∈L}便是仿射流形

V⊂EV \subset EV⊂E, ∀x,y∈E,λ+μ=1\forall x, y \in E, \lambda + \mu = 1∀x,y∈E,λ+μ=1, ∃λx+μy∈V\exist \lambda x+ \mu y \in V∃λx+μy∈V
VVV便是仿射流形

如果同时要求λ≥0,μ≥0\lambda \geq 0, \mu \geq 0λ≥0,μ≥0，则VVV为凸集
注：子空间、仿射流形、凸集的区别在于对λ,μ\lambda, \muλ,μ的要求不同

[1] 应用泛函分析，柳重堪
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
[3] https://math.stackexchange.com/questions/620803/differences-between-lp-and-ellp-spaces
[4] https://zh.wikipedia.ahau.cf/wiki/同构[4] 线性变换，线性映射，线性算子？ - Zh Z的回答 - 知乎https://www.zhihu.com/question/274047003/answer/1295063006
https://wiko.wiki/zh/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2

感想：现在毕业了，去一家研究所工作，想继续往深学有限元、信号处理，必须首先学习泛函，反正继续学就是了。