【泛函分析】 3 赋范线性空间上的有界线性算子

1 有界线性算子

1.1 定义与性质

设X，Y是（统一数域上）赋范线性空间，为X的线性子空间，

线性算子（齐次可加）：
有界算子：存在常数M，使得

几个等价命题：

1.T一致连续；2.T连续；3.T在处连续；4.对任一有界集，是Y中的有界集；

5.T有界；6.。

1.2 算子范数、算子空间

表示X到Y的一切有界线性算子的全体，对 $T_{1},T_{2}\in B(X,Y)$ ，定义

则是线性空间。（共轭空间？）

算子范数： $\left \| T \right \|=sup\frac{\left \| Tx \right \|}{\left \| x \right \|}=sup \left\{ \left \| Tx \right \|,\left \| x \right \|\leq 1\right \}=sup\left \{ \left \| Tx \right \|,\left \| x \right \|=1 \right \}$

【如果Y是Banach空间，则B(X,Y)也是Banach空间。】

[1]

1.3 开映射、闭图像、共鸣定理

open-mapping：设X，Y是Banach空间， $T:X\rightarrow Y$ 为有界线性算子，如果T（X）是Y中的第二纲集，则存在K>0，使得（满射）对于使得 $y=Tx,$ 且有 $\left \| x \right \|\leq K\left \| Tx \right \|$ 【则对X中任一开集G，T（G）是Y中开集】
闭图像：设X，Y是Banach空间， $T:X\rightarrow Y$ 为闭算子，则T是有界的
共鸣（一致有界）：设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，为有界线性算子。如果对于，都有，则。

[1]

2 延拓与Hahn-Banach定理

2.1 延拓

设E是线性空间，分别是定义在E的子空间上的线性泛函，如果满足一下两个条件：

（1）

（2） $f_{1}(x)=f_{2}(x),\forall x\in G_{1}$

则称是在上的延拓。

2.2 HBT

实：设G为实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E上的次可加正齐泛函。f与p满足：,则必存在定义在E上的实线性泛函，满足（1） $f_{0}(x)=f(x),\forall x\in G$ ;（2） $f_{0}(x)\leq p(x),\forall x\in E$
复：设G为复线性空间E的子空间，f是定义在G上的线性泛函，p是定义在E上的半范。f与p满足：,则必存在定义在E上的实线性泛函，满足（1） $f_{0}(x)=f(x),\forall x\in G$ ;（2）

2.3 保范延拓

定理：设E是空间，G是E的线性子空间，是G上的有界线性泛函，则必存在E上的有界线性泛函，满足：（1） $f_{_{0}}(x)=f(x),\forall x\in E$ ;（2）
推论：设E是空间，G是E的线性子空间，，若，则存在E上的有界线性泛函f，使（1） $f(x)=0,\forall x \in G$ ；（2）
【证明思路】构造f满足以上条件，令 $f(\alpha x_{0}+x)=\alpha$ ，显然其满足 $f(x)=0,\forall x \in G$ ，

$f\left(x_{0} \right )=1$ 。下证其满足

。

（1），即。（）

（2）。（）

3 第二共轭空间自然嵌入映射自反空间

3.1 第二共轭空间

凸集分离定理

但是如果只满足 $riX_1 \cap riX_2=\O$ ，结论有什么变化？

在C边界bdC上一点可以建立一个支撑超平面

参考文献：

[1]Hongxin Zhang 2007-06-21 State Key Lab of CAD&CG, ZJU