泛函分析的三大空间自然是：度量空间、线性赋范空间和Hilbert空间，由[泛函分析的起源与发展]，我们知道引入度量空间和希尔伯特空间的动机是截然不同的

度量空间是Frechet有意识地去引入一种抽象理论, 使得这种理论能够将康托尔,沃尔泰拉以及阿尔泽拉等人的工作统一起来.
内积空间是在求解积分方程的过程中创造出来的,
赋范线性空间是巴拿赫系统地发展了Frechet的思想，以及利用了Hilbert空间l2,L2l^2,L^2l2,L2的性质提出的。

这三个空间有如下包含关系，

拓扑诱导σ−\sigma-σ−代数，度量诱导拓扑，范数诱导度量，内积诱导范数，

可测空间 ⊇\supseteq⊇ 拓扑空间 ⊇\supseteq⊇ 度量空间⊇\supseteq⊇ 赋范线性空间 ⊇\supseteq⊇ 内积空间。

Féchet 空间 ⊇\supseteq⊇ Banach 空间 ⊇\supseteq⊇ Hilbert 空间

其中: (i) 完备的可度量化的局部凸拓扑线性空间称为 Féchet 空间 (局部凸拓扑线性空间可度量化的充要条件是拓扑可由可数半范数生成) ;
(ii) 赋范线性空间又记为 B∗B^{*}B∗ 空间，完备的赋范线性空间又称为 Banach 空间，记为 BBB 空间；
(iii) 完备的内积空间又称为 Hilbert 空间。

1. 度量空间

内容一：度量空间的定义以及例子

定义（度量空间）：设有集合 XXX, 且存在映射 ρ:X×X→[0,+∞)\rho: X \times X \rightarrow[0,+\infty)ρ:X×X→[0,+∞), 使得对任意的 x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X 都有:

非负性: ρ(x,y)≥0,ρ(x,y)=0⟺x=y\rho(x, y) \geq 0, \rho(x, y)=0 \Longleftrightarrow x=yρ(x,y)≥0,ρ(x,y)=0⟺x=y;

对称性: ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x, y)=\rho(y, x)ρ(x,y)=ρ(y,x);

三角不等式: ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y),∀z∈X\rho(x, y) \leq \rho(x, z)+\rho(z, y), \forall z \in Xρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y),∀z∈X

映射 ρ(⋅)\rho(\cdot)ρ(⋅) 称为集合 XXX 上的一个度量, 称 (X,ρ)(X, \rho)(X,ρ) 为度量空间. 度量函数 ρ\rhoρ 有时也用 d(⋅)d(\cdot)d(⋅) 表示.

下边我们给出一些常用的度量空间:

R,C\mathbb{R}, \mathbb{C}R,C, 度量函数为经典度量. 这样的实空间就称为欧式空间.
(平凡度量)d(x,y)={0,x=y1,x≠yd(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 0, x=y \\ 1, x \neq y \end{array}\right.d(x,y)={0,x=y1,x=y
在任何一个集合上都可以定义上述度量, 因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.
(Lp[a,b]\left(L^{p}[a, b]\right.(Lp[a,b] 空间)所有的ppp方勒贝格可积函数, 定义度量:
d(f,g)=[∫ab∣f(t)−g(t)∣pdt]1pd(f, g)=\left[\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|^{p} \mathrm{~d} t\right]^{\frac{1}{p}} d(f,g)=[∫ab∣f(t)−g(t)∣p dt]p1
(L∞[a,b]\left(L^{\infty}[a, b]\right.(L∞[a,b] 空间)所有的在 [a,b][a, b][a,b] 可测的本性有界的函数, 定义度量:d(f,g)=essup∣f−g∣d(f, g)=essup|f-g|d(f,g)=essup∣f−g∣，essupessupessup表示它的本性上界.
(lp\left(l^{p}\right.(lp空间和l∞l^{\infty}l∞空间) 元素是数列: {{ξj}∣∑i=1∞∣ξi∣p<∞}\left\{\left.\left\{\xi_{j}\right\}\left|\sum_{i=1}^{\infty}\right| \xi_{i}\right|^{p}<\infty\right\}{{ξj}∣∑i=1∞∣ξi∣p<∞}.
(连续函数空间 C[a,b]C[a, b]C[a,b]) 区间[a,b]上的连续函数全体，度量是:d(f,g)=max⁡∣f(t)−g(t)∣d(f, g)=\max |f(t)-g(t)|d(f,g)=max∣f(t)−g(t)∣

内容二：收敛性，柯西序列与完备

定义（收敛）距离空间 (X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ) 上的点列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}叫做收敛到x0x_{0}x0(在(X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ)中)是指: ρ(xn,x0)→0(n→∞)\rho\left(x_{n}, x_{0}\right) \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)ρ(xn,x0)→0(n→∞), 记作 lim⁡n→∞xn=x0\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}limn→∞xn=x0, 或简记xn→x0x_{n}\rightarrow x_{0}xn→x0.

定理：设{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}是距离空间XXX中的收敛点列, 则:(i) {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的极限唯一; (ii) 对任意的 y0∈Xy_{0} \in Xy0∈X, 数列 {ρ(xn,y0)}\left\{\rho\left(x_{n}, y_{0}\right)\right\}{ρ(xn,y0)} 有界. (iii) 如果 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 收敛, 那么它任意子列也收敛.

定义（柯西点列&完备）: 距离空间XXX中的点列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 叫做基本点列或柯西点列,若对任给的ε>0\varepsilon > 0ε>0, 存在 N>0N>0N>0, 使得当 m,n>Nm, n > Nm,n>N 时,
ρ(xm,xn)<ε\rho\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilonρ(xm,xn)<ε
如果XXX中的任一基本点列必收敛于 XXX 中的某一点,则称XXX为完备的距离空间.

1.1 度量空间的完备化

内容一：很多时候都要求空间的完备性，例如在后面介绍的压缩映像定理，而空间的完备与否和它的集合和度量有关。

C[a,b]C [ a , b ]C[a,b]按照最大值定义的度量是完备的, 但是按照积分定义的度量不完备；
(0,1)(0,1)(0,1)上配备欧式度量, 点列{1n}\{\frac{1}{n}\}{n1}是基本列但是不收敛, 因为0不在集合中。

内容二：一个不完备的空间, 可以添加一些元素使其完备。

定义（等距同构）:设 (X,ρ),(X1,ρ1)(\mathscr{X}, \rho),\left(\mathscr{X}_{1}, \rho_{1}\right)(X,ρ),(X1,ρ1) 是两个度量空间, 如果存在映射: φ:X→X1\varphi: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}_{1}φ:X→X1 满足:
(1): φ\varphiφ 是满射;
(2): ρ(x,y)=ρ1(φx,φy)(∀x,y∈X)\rho(x, y)=\rho_{1}(\varphi x, \varphi y) \quad(\forall x, y \in \mathscr{X})ρ(x,y)=ρ1(φx,φy)(∀x,y∈X).
则称 (D,ρ)(\mathscr{D}, \rho)(D,ρ) 和 (X1,ρ1)\left(\mathscr{X}_{1}, \rho_{1}\right)(X1,ρ1) 是等距同构的, 称 φ\varphiφ 为等距同构映射, 有时简称等距同构。

注释：如果两个空间是等距同构的，就认为这两个空间是相同的（与距离关联的性质是一样的）.

定义（稠密子集）设 (X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ) 是度量空间。集合 E⊂DE \subset \mathscr{D}E⊂D 叫做在 Z\mathscr{Z}Z 中的稠密子集, 如果, ∀x∈L,∀ε>0,∃z∈E\forall x \in \mathscr{L}, \forall \varepsilon>0, \exists z \in E∀x∈L,∀ε>0,∃z∈E, 使得 ρ(x,\rho(x,ρ(x,, z)<εz)<\varepsilonz)<ε ，換句话说: ∀x∈D,∃{xn}⊂E\forall x \in \mathscr{D}, \exists\left\{x_{n}\right\} \subset E∀x∈D,∃{xn}⊂E, 使得 xn→xx_{n} \rightarrow xxn→x.

等价定义：(i) 对于任给的 x∈Ax \in Ax∈A 以及任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0, 存在 BBB 中的点 yyy 使 ρ(x,y)<ε\rho(x, y)<\varepsilonρ(x,y)<ε
(ii) 对于任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0, 以 BBB 中的每个点为中心，以 ε\varepsilonε 为半径的全部开球的并包含 AAA;
(iii) 对于任给的 x∈Ax \in Ax∈A, 存在 BBB 中的点列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 收敛于 xxx
示例：闭区间上的多项式函数空间在连续函数空间中稠密；Q\mathbb{Q}Q 在 R\mathbb{R}R 中是稠密的，在 R\Q\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}R\Q 中也是稠密的；Qn\mathbb{Q}^{n}Qn 在 Rn\mathbb{R}^{n}Rn 中是稠密的.

定义（完备化空间）包含给定度量空间 (X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ) 的最小的完备度量空间称为 R\mathscr{R}R 的完备化空间其中最小的含意是: 任何一个以 (X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ) 为子空间的完备度量空间都以此空间为子空间。

命题（度量空间的完备化） 如果 (X1,ρ1)\left(\mathscr{X}_{1}, \rho_{1}\right)(X1,ρ1)是一个以 (X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ)为子空间的完备度量空间, ρ1∣X×X=ρ\left.\rho_{1}\right|_{\mathscr{X} \times \mathscr{X}}=\rhoρ1∣X×X=ρ, 且X\mathscr{X}X 在 X1\mathscr{X}_{1}X1 中稠密, 则X1\mathscr{X}_{1}X1是 X\mathscr{X}X的完备化空间。

C[a,b]C[a, b]C[a,b] 配以经典度量是完备空间, 但是配以 dpd_{p}dp 就不是完备的度量空间, 它的完备化空间是 Lp[a,b]L^{p}[a, b]Lp[a,b].
l0l_{0}l0是所有形如有限项不为 0 的序列组成的集合, 因此在 lll 的经典度量下是一个度量空间, 显然 an=12n,{an}a_{n}=\frac{1}{2^{n}},\left\{a_{n}\right\}an=2n1,{an} 不在 l0l_{0}l0 中, 但是取 {an}\left\{a_{n}\right\}{an} 得 nnn 项截断, {bn}\left\{b_{n}\right\}{bn} 且bn+p=an,p≥0b_{n+p}=a_{n}, p \geq 0bn+p=an,p≥0,那么 {{bn}}\left\{\left\{b_{n}\right\}\right\}{{bn}} 是一个柯西列, 但是不收敛.因此是个不完备的空间.
多项式空间 P[a,b]P[a, b]P[a,b] 按照 max⁡∣f−g∣\max |f-g|max∣f−g∣ 度量建立的度量空间不是完备度量空间, 其完备化空间是 C[a,b]C[a, b]C[a,b]

内容三：是否任何不完备空间都能完备呢?

定理每一个度量空间有一个完备化空间。

1.2 度量空间的完备性定理

并非所有实数空间中的结论都可以推广至一般的度量空间，比如，实数系的六大基本定理并非都可以推广至一般的度量空间.

1. 度量空间上的开集与闭集

定义(开集)：设 XXX 是一个距离空间， G⊂X,x∈GG \subset X, x \in GG⊂X,x∈G. 如果存在 xxx 的某个邻域 S(x,r)⊂GS(x, r) \subset GS(x,r)⊂G ，则称 xxx 是 GGG 的内点. GGG 的全部内点构成的集合记为 G0G^{0}G0,称为 GGG 的内部. 如果 GGG 中的每一个点都是它的内点,则称 GGG 为开集. 空集规定为开集.

开集的性质：1. 空间 XXX 和 ∅\varnothing∅ 都是开集；2. 任意个开集的并集是开集(可以是不可数并)；3. 有限个开集的闭集是开集) (只能是有限个开集).

定义（闭集）: 设 XXX 是距离空间， A⊂XA \subset XA⊂X. 点 x0∈Xx_{0} \in Xx0∈X. 若对任给的 ε>0,x0\varepsilon>0, x_{0}ε>0,x0 的邻域 S(x0,ε)S\left(x_{0}, \varepsilon\right)S(x0,ε) 中含有 AAA 中异于 x0x_{0}x0 的点，即
S(x0,ε)∩(A\{x0})≠∅S\left(x_{0}, \varepsilon\right) \cap\left(A \backslash\left\{x_{0}\right\}\right) \neq \varnothingS(x0,ε)∩(A\{x0})=∅
则称x0x_{0}x0是AAA的聚点或极限点. 如果x0∈Ax_{0}\in Ax0∈A但不是AAA的聚点，则称x0x_{0}x0为AAA的孤立点. 集合AAA的全部聚点构成的集合称为AAA的导集，记为 A′A^{\prime}A′. 并集A∪A′A \cup A^{\prime}A∪A′称为AAA的闭包，记为Aˉ\bar{A}Aˉ. 如果A=AˉA=\bar{A}A=Aˉ，则称AAA为闭集.

闭集的性质：1. 空间 XXX 及空集 ∅\varnothing∅ 都是闭集；2. 任意多个闭集的交是闭集；3. 有限多个闭集的并是闭集.
闭包的性质：设 XXX 是距离空间， A,BA, BA,B 都是 XXX 的子集，则 1. A⊂AˉiA \subset \bar{A}_{i}A⊂Aˉi；2. Aˉ‾=Aˉi\overline{\bar{A}}=\bar{A}_{i}Aˉ=Aˉi；3. A∪B‾=Aˉ∪Bˉ;\overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} ;A∪B=Aˉ∪Bˉ;；4. ∅ˉ=∅\bar{\varnothing}=\varnothing∅ˉ=∅.

2. 闭集套定理

已经推广了柯西列的定义，而作为重要的推论就是将闭区间定理推广至闭集套定理或者说闭球套定理.

定理（闭集套定理）：设 XXX 是一个完备的度量空间， KnK_{n}Kn 为一列 XXX 中的非空闭集，满足：
K1⊃K2⋯⊃Kn⊃⋯K_{1} \supset K_{2} \cdots \supset K_{n} \supset \cdotsK1⊃K2⋯⊃Kn⊃⋯
如果 lim⁡n→∞diam⁡(Kn)=0\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{diam}\left(K_{n}\right)=0limn→∞diam(Kn)=0 ，那么 XXX 中有唯一的点 x0x_{0}x0 包含在所有的这些闭集中.

证明：对每个正整数ntn_{t}nt 从 KnK_{n}Kn中任取一点得到点列 {Pn}\left\{P_{n}\right\}{Pn} ，由d(xn,xm)≤diam⁡(Km),m≤nd\left(x_{n}, x_{m}\right) \leq \operatorname{diam}\left(K_{m}\right), m \leq nd(xn,xm)≤diam(Km),m≤n可知XXX中的一个柯西列，由XXX 完备，可知这个柯西列一定收敛到XXX中某一点 x0x_{0}x0。只需证明该点在每个KnK_{n}Kn.假设x0x_{0}x0不在某个Kn0K_{n_{0}}Kn0中，KnK_{n}Kn是闭集，故存在ε0\varepsilon_{0}ε0，使得：B(x0,ε0)∩∅tB\left(x_{0}, \varepsilon_{0}\right) \cap \emptyset_{t}B(x0,ε0)∩∅t，由于 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}是柯西列，因此对任何给定的 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在N>0N>0N>0，使得对任何的n≥max⁡{n0,N}n \geq \max \left\{n_{0}, N\right\}n≥max{n0,N}，有xn∈B(x0,ε)x_{n} \in B\left(x_{0}, \varepsilon\right)xn∈B(x0,ε)。

特例（闭球套定理）：设 XXX 是完备的距离空间， Kn=Sˉ(xn,rn)K_{n}=\bar{S}\left(x_{n}, r_{n}\right)Kn=Sˉ(xn,rn) 是 XXX 中的一列闭球, 满足
K1⊃K2⊃⋯⊃Kn⊃⋯(称为闭球套), K_{1} \supset K_{2} \supset \cdots \supset K_{n} \supset \cdots \text { (称为闭球套), }K1⊃K2⊃⋯⊃Kn⊃⋯ (称为闭球套),
如果半径 rnr_{n}rn 构成的序列 {rn}→0(n→∞)\left\{r_{n}\right\} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty){rn}→0(n→∞) ，则有 XXX 中唯一的点 x0x_{0}x0 含于所有的球中.

3. 列紧集与紧集

内容一：实数系中完备性等价于有界无穷集有收敛子列(Bolzano-Weierstrass定理，有限维空间所具有的特点)；但是在度量空间中我们没有办法做到这一点(无穷维空间所具有的特点)！将具有这一性质的集合叫做列紧集（预紧集、准紧集或者致密集）.

L2[−π,π]L^{2}[-\pi, \pi]L2[−π,π] 中的三角函数系
{12π,1πcos⁡t,1πsin⁡t,⋯,1πcos⁡nt,1πsin⁡nt,⋯}\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos t, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin t, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos n t, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin n t, \cdots\right\} {2π1,π1cost,π1sint,⋯,π1cosnt,π1sinnt,⋯}
是有界的，但其中任意两个元素间的距离都等于 2\sqrt{2}2,故不可能存在收敛的子列，因此不是准紧集.

定义（列紧集、自列紧集）：设 AAA 是距离空间 XXX 的子集. 如果 AAA 中的每个点列都含有子列收敛于 XXX 中的某一点,则称 AAA 为列紧集. 如果 AAA 中的每个点列都含有子列收敛于 AAA 中的某一点，则称 AAA 为自列紧集. 如果空间 XXX 自身是列紧集,则称 XXX 是列紧空间.

命题在RnR^{n}Rn中任意有界集是列紧集, 任意有界闭集是自列紧集.(Bolzano-Weierstrass定理)
命题列紧空间内任意(闭)子集是(自)列紧集.（列紧+闭集=列紧集）
命题列紧空间必是完备空间.

内容二：完备空间中列紧的充分必要条件(Bolzano-Weierstrass定理：有界集是列紧集)：完全有界

定义（可分）：设 XXX 为距离空间.若 XXX 存在稠密的可列子集,则称 XXX 可分.

例子: 1. Rn\mathbb{R}^{n}Rn 是可分的， Qn\mathbb{Q}^{n}Qn 是其稠密子集；2. C[a,b]C[a, b]C[a,b] 是可分的，稠密子集有理系数多项式；3. Lp[a,b]L^{p}[a, b]Lp[a,b] 可分，稠密子集：三角正交系
反例： L∞[a,b]L^{\infty}[a, b]L∞[a,b] 是不可分的.
定义（稀疏集）：若 (Aˉ)∘=∅(\bar{A})^{\circ}=\emptyset(Aˉ)∘=∅ 或 AAA 在任何非空开集中都不稠，则称 AAA 是稀疏集.

定义（ε−\varepsilon-ε−网）：设XXX为距离空间， ρ\rhoρ为距离. A,BA, BA,B都是XXX的子集， ε\varepsilonε为一给定的正数. 如果对于AAA中的任一点 xxx ，都有BBB中的点yyy使得ρ(x,y)<ε\rho(x, y)<\varepsilonρ(x,y)<ε，则称BBB是AAA 的一个ε−\varepsilon-ε−网. 即A⊂⋃y∈BB(y,ε).A \subset \bigcup_{y \in B} B(y, \varepsilon) .A⊂⋃y∈BB(y,ε).

定义（完全有界集）：设AAA是距离空间XXX的子集. 如果对于任给的 ε>0，A\varepsilon>0，Aε>0，A 总存在有限的 ε−\varepsilon-ε−网，则称AAA是完全有界集.

定理：完全有界集的一些基本性质：1. 任何有限集都是全有界的；2. 全有界集的子集也是全有界的；3. 设 AAA 为全有界集，则对任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0,我们总可以取 AAA 的一个有限子集作为 AAA 的 ε−\varepsilon-ε− 网.
定理：完全有界集有界且可分.

定理（在完备的距离空间中，列紧性与完全有界性等价）：设 XXX 是距离空间，以 ρ\rhoρ 为距离，又设 XXX 的子集 AAA 准紧，则 AAA 全有界. 若 XXX 是完备的距离空间，则当 AAA 全有界时， AAA 必定准紧. 因此在完备的距离空间中，准紧性与全有界性等价.

内容三：在度量空间中，紧集等价于自列紧

定义（紧集）：设XXX为距离空间，AAA 为 XXX 的子集，{Gc}c∈J\left\{G_{c}\right\}_{c \in J}{Gc}c∈J 是 XXX 中某些开集组成的族. 如果$
A \subset \bigcup_{c \in J} G_{c}$
则称 {Gc}c∈J\left\{G_{c}\right\}_{c \in J}{Gc}c∈J 为 AAA 的开覆盖. 如果 JJJ 是有限集, 则称 {Gc}c∈J\left\{G_{c}\right\}_{c \in J}{Gc}c∈J 为 AAA的有限开覆盖. 紧集指的是任何非空开覆盖都有有限开覆盖的集合.

定理设(X,ρ)(\mathscr{X}, \rho)(X,ρ)是一个距离空间, MMM紧集等价于自列紧集.

内容三：某些具体空间中的列紧性的判别法

定理（连续函数空间列紧的充分必要条件）: 集合A⊂C[a,b]A \subset C[a, b]A⊂C[a,b] 准紧的充分必要条件是AAA具有下列性质:
(i)A(i)A(i)A一致有界, 即存在常数 KKK,使对一切 x∈Ax \in Ax∈A, 有 ]x(t)∣≤K(t∈[a,b])] x(t) \mid \leq K(t \in[a, b])]x(t)∣≤K(t∈[a,b]);
(ii)A(ii) A(ii)A等度连续,即对任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0, 存在 δ=δ(ε)>0\delta=\delta(\varepsilon)>0δ=δ(ε)>0, 使得对任意的 t′,t′′∈[a,b]t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in[a, b]t′,t′′∈[a,b], 只要 ∣t′−t′′∣<δ\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\delta∣t′−t′′∣<δ, 就有∣x(t′)−x(t′′)∣<ε\left|x\left(t^{\prime}\right)-x\left(t^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon∣x(t′)−x(t′′)∣<ε
对一切 x∈Ax \in Ax∈A 成立.

1.3 度量空间上的映射

内容一：连续映射及其等价定义，紧集上连续函数的性质

定义（连续映射）: 设 (X,d)(X, d)(X,d) 是一个度量空间, 给定 x0∈Xx_{0} \in Xx0∈X, 称映射 TTT 在 x0x_{0}x0 处连续: 如果对任意给定的 ε>0\varepsilon>0ε>0, 存在 δ>0\delta>0δ>0 使得, 对任意的 d(x,x0)<δd\left(x, x_{0}\right)<\deltad(x,x0)<δ, 都有: d(Tx,Tx0)<εd\left(T x, T x_{0}\right)<\varepsilond(Tx,Tx0)<ε

可以完全脱离度量空间来定义连续映射，即只用开集和闭集来定义。

定理: 设 (X,d)(X, d)(X,d) 是一个度量空间, x0∈Xx_{0} \in Xx0∈X 为任意指定的点, 那么: f(x)=d(x,x0)f(x)=d\left(x, x_{0}\right)f(x)=d(x,x0) 是一个连续函数.
定理: 设 (X,d)(X, d)(X,d) 是一个度量空间,那么: d(x,y)d(x, y)d(x,y) 是一个二元连续函数.
定理(连续映射的等价定义):

距离空间 XXX 到距离空间 YYY 中的映射 TTT 在点 x0∈Xx_{0} \in Xx0∈X 连续的充分必要条件是对任何收敛于 x0x_{0}x0 的点列 {xn}⊂X\left\{x_{n}\right\} \subset X{xn}⊂X, 有 {Txn}\left\{T x_{n}\right\}{Txn} 收敛于 Tx0T x_{0}Tx0.
距离空间XXX到距离空间YYY中的映射 TTT连续的充分必要条件是下列两个条件之一成立: (i)对于 YYY 中的任一开集 G,GG, GG,G 的原像 T−1(G)T^{-1}(G)T−1(G)是XXX中的开集;(ii) 对于 YYY 中的任一闭集 F,FF, FF,F 的原像 T−1(F)T^{-1}(F)T−1(F) 是 XXX 中的闭集.

紧集上的连续函数有很多良好的性质，如：一致连续；最值可达性；将紧集映为紧集.

定理: [紧集上连续函数的性质]

设 X,YX, YX,Y 为距离空间, 距离分别为 ρ,ρ1⋅A\rho, \rho_{1} \cdot Aρ,ρ1⋅A 为 XXX 中的紧集, TTT 是由 AAA 到 YYY 中的连续映射,则 AAA 的像 T(A)T(A)T(A) 是 YYY 中的紧集.

设上述条件中的全部条件满足,则 TTT 在 AAA 上一致连续,即对任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0, 存在仅与 ε\varepsilonε 有关的 δ>0\delta>0δ>0, 使得对任意的 x,y∈Ax, y \in Ax,y∈A, 当 ρ(x,y)<δ\rho(x, y)<\deltaρ(x,y)<δ 时，有 ρ1(Tx,Ty)<ε\rho_{1}(T x, T y)<\varepsilonρ1(Tx,Ty)<ε.

设 XXX 是距离空间, AAA是XXX中的紧集, fff是定义在AAA上的连续泛函,则fff有界且可达到其上、下确界.

内容二: Banach不动点定理

定理（Banach不动点定理）: 设 XXX 是完备的距离空间,距离为 ρ.T\rho. Tρ.T是由 XXX 到其自身的映射,且对于任意的 x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X, 不等式
ρ(Tx,Ty)⩽θρ(x,y)\rho(T x, T y) \leqslant \theta \rho(x, y)ρ(Tx,Ty)⩽θρ(x,y)
成立,其中 θ\thetaθ 是满足不等式 0⩽θ<10 \leqslant \theta<10⩽θ<1 的常数. 那么 TTT 在 XXX 中存在唯一的不动点, 即存在唯一的 xˉ∈X\bar{x} \in Xxˉ∈X, 使得 Txˉ=xˉT \bar{x}=\bar{x}Txˉ=xˉ, 且 xˉ\bar{x}xˉ 可以用迭代法求得.

内容三：不动点定理的应用：1. 微分方程解的存在性和唯一性定理；2. Fredholm方程解的存在性和唯一性；3. Volterra方程解的存在性和唯一性。

微分方程解的存在性和唯一性定理

微分方程dydx=f(x,y),y∣x0=yθ\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y),\left.y\right|_{x_{0}}=y_{\theta} dxdy=f(x,y),y∣x0=yθ, 其中f(x,y)f(x, y)f(x,y)在整个平面上连续, 设f(x,y)f(x, y)f(x,y)关于yyy满足利普希茨条件:
∣f(x,y)−f(x,y′)∣⩽K∣y−y′∣,x,y,y′∈R\left|f(x, y)-f\left(x, y^{\prime}\right)\right| \leqslant K\left|y-y^{\prime}\right|, \quad x, y, y^{\prime} \in \mathbf{R}∣f(x,y)−f(x,y′)∣⩽K∣y−y′∣,x,y,y′∈R
其中K>0K>0K>0 为常数. 那么通过任一给定的点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0), 该微分方程有一条且只有一条积分曲线.

Fredholm方程解的存在性和唯一性

设有线性积分方程x(t)=f(t)+λ∫abK(t,s)x(s)dsx(t)=f(t)+\lambda \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) \mathrm{d} sx(t)=f(t)+λ∫abK(t,s)x(s)ds，其中 f∈L2[a,b]f \in L^{2}[a, b]f∈L2[a,b]为给定的函数, λ\lambdaλ 为参数, K(t,s)K(t, s)K(t,s)定义在矩形区域 a⩽t⩽b,a⩽s⩽ba \leqslant t \leqslant b, a \leqslant s \leqslant ba⩽t⩽b,a⩽s⩽b内的可测函数, 满足
∫ab∫ab∣K(t,s)∣2dtds<+∞\int_{a}^{b} \int_{a}^{b}|K(t, s)|^{2} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} s<+\infty∫ab∫ab∣K(t,s)∣2 dt ds<+∞
当参数λ\lambdaλ的模充分小时,方程存在唯一的解x∈L2[a,b]x \in L^{2}[a, b]x∈L2[a,b].

Volterra方程解的存在性和唯一性

设 K(t,s)K(t, s)K(t,s) 是定义在三角形区域 a⩽t⩽b,a⩽s⩽ta \leqslant t \leqslant b, a \leqslant s \leqslant ta⩽t⩽b,a⩽s⩽t 上的连续函数,则沃尔泰拉积分方程
x(t)=λ∫atK(t,s)x(s)ds+f(t)x(t)=\lambda \int_{a}^{t} K(t, s) x(s) \mathrm{d} s+f(t)x(t)=λ∫atK(t,s)x(s)ds+f(t)
对任何 f∈C[a,b]f \in C[a, b]f∈C[a,b] 以及任何常数 λ≠0\lambda \neq 0λ=0 存在唯一的解 x0∈C[a,b]x_{0} \in C[a, \mathrm{~b}]x0∈C[a, b].

参考文献：

泛函分析讲义，张恭庆

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