赋范线性空间定义的概念

开集： A subset SSS of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is open if for each s∈Ss \in Ss∈S there is an ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 such that B(s,ϵ)⊂SB(s, \epsilon) \subset SB(s,ϵ)⊂S
闭集：A subset FFF of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is closed if its complement X\FX \backslash FX\F is open
闭包：Let SSS be a subset of a normed linear space (X,∥⋅∥).(X,\|\cdot\|) .(X,∥⋅∥). We define the closure of S,S,S, denoted by Sˉ,\bar{S},Sˉ, to be the intersection of all closed sets containing SSS

闭包：包含S的最小的闭集，任意多个闭集的交集仍是闭集。

完备性：A metric space (X,d)(X, d)(X,d) is said to be complete if every Cauchy sequence in XXX converges in XXX.

一个度量空间X中的所有柯西数列都会收敛到X 中的一点，那么X被称为是一个完备空间。注意此处的柯西序列一定要收敛到它的度量空间X中，否则就是不完备的。例如：有理数，我们定义一个柯西序列{xn},xn=∑1i2ni=1\{x_n\},x_n=\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum{\frac{1}{i^2}}}}{xn},xn= i=1∑i21n，对于这个序列，当n趋近于无穷大的时候，它的值是π26\frac {\pi^2}{6}6π2. 可以看到这个柯西序列中每一个元素都是有理数，但是它却收敛到无理数集中，所以有理数集不是完备的。

数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的，例如实数就具有完备性，而有理数就不具有。

巴拿赫空间： A normed linear space that is complete with respect to the metric induced by the norm is called a Banach space.
有界： A subset AAA of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is bounded if A⊂B[x,r]A \subset B[x, r]A⊂B[x,r] for some x∈Xx \in Xx∈X and r>0r>0r>0
It is clear that AAA is bounded if and only if there is a C>0C>0C>0 such that ∥a∥≤C\|a\| \leq C∥a∥≤C for all a∈Aa \in Aa∈A.

对于一个子集，如果存在某个大小的开球可以包住它，那么这个子集就是有界的。

完全有界：A subset AAA of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is totally bounded (or precompact) if for any ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 there is a finite ϵ\epsilonϵ -net Fϵ⊂XF_{\epsilon} \subset XFϵ⊂X for AAA. That is, there is a finite set Fϵ⊂XF_{\epsilon} \subset XFϵ⊂X such that
A⊂⋃x∈FϵB(x,ϵ)A \subset \bigcup_{x \in F_{\epsilon}} B(x, \epsilon) A⊂x∈Fϵ⋃B(x,ϵ)

对于一个子集，如果多个任意大小的开球的并能够包住它，那么这个子集就是完全有界的。
子集A的每一个序列都有一个柯西子序列，那么A是完全有界的。

序列紧（列紧）： A normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is sequentially compact if every sequence in XXX has a convergent subsequence.

每一个X中的序列都有一个收敛的子序列，那么X是列紧的。完全有界且完备→\rightarrow→列紧

有限维赋范线性空间的范数都是等价的。
有限维赋范线性空间都是完备的，都是闭合的。
有限维赋范线性空间的闭合有界子集是列紧的。
稠密集：给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则A称为在X中稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好地逼近，则称A在X中稠密。
可分空间：具有可数的处处稠密集的空间称为可分空间。

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