线性代数系列（五）--线性相关性

主要内容

向量组的线性相关性，零向量与任何向量都是线性相关的。又可以从零空间的角度理解。或者可以从秩的角度理解（为什么存在自由变量就一定有解）
生成空间，对于向量组而言的
基和维数，向量空间的基，满足的性质，基向量的个数。
基的个数，矩阵的秩，空间的维数

正文

向量组的线性相关性

首先要明确一点，线性相关性是只针对向量组而言的。在前面的文章中，已经大致的涉及到了线性相关性的概念，其实，本质上还是考虑的线性组合。给定一个向量组VVV，如果除了零向量以外，不存在一组非零的系数向量使得向量组VVV的线性组合为零向量，那么这个向量组VVV中的向量就是线性无关的。线性无关的数学表达如下：c1v1+c2v2+c3v3+....+cnvn=0，onlyC=0c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+....+c_nv_n=0，only\quad C=0c1v1+c2v2+c3v3+....+cnvn=0，onlyC=0如果存在一组非零的系数CCC，使得他们线性组合得到零向量，说明向量组VVV中的一些向量可以通过其他向量的线性组合表示出来。这些东西在教材上都有，这里简单的提一下。

上面是线性组合的角度，这里再从空间的角度来看一下。例如：VC=0，onlyC=0VC=0，only\quad C=0VC=0，onlyC=0上面的这种形式就是我们找零空间的形式。找到所有CCC使得上面的方程成立，但是在线性无关的情况下，只有当C=0C=0C=0的时候才会成立，也就是零空间中只有零向量0。当线性相关的时候，那么存在其他的非零系数使得 VC=0VC=0VC=0，这时零空间中就不仅仅是零向量了。

再从矩阵的秩上来看一下，对于向量组VVV组成的矩阵Am∗nA_{m*n}Am∗n，列向量都是线性无关的，那么当我们将这个矩阵AAA化成简化的行阶梯形矩阵时，会发现每一列都有主元，也就是说r=nr=nr=n，这就是列满秩的情况，在前面提到过列满秩只可能出现在m≥nm\ge nm≥n的情况下。当线性相关的时候，显然向量组中可以被线性组合表示的列向量不会含有主元，这时候就会出现r≤nr\le nr≤n，也就是含有自由变量。

生成空间

实际上，已经见过生成空间，系数矩阵的列空间就是一个生成空间，不过生成空间是一个更加严谨的概念，它仅仅是针对向量组而言的，那么我们也可以更严谨一些，说：系数矩阵所包含的向量组生成的列空间。不过，对于这种严谨的说法，我们知道就可以了，习惯上还是使用通俗的说法。

列空间表示系数矩阵中向量组的所有线性组合所组成的集合。而生成空间也就这么一种线性组合的概念，它表示由向量组的所有线性组合所组成的集合。不管这个向量组是线性相关还是线性无关。

基和维数

维数是比较常见的概念了，我们日常经常提到的有三维空间，二维空间，所谓维数就是指维度的一个度量。一般使用2，3维的较多。实际上，在线性代数中，我们可以扩展到n维空间。只不过，不能够可视化n维空间，但是可以量化。比如RnR^nRn，就表示n维空间。

基，我们可以想到一个词基底，像盖一个大楼，对于这个大楼空间而言，基就是这个大楼空间的框架。通过在这个框架上继续搭建，我们可以得到这个完整的大楼。在生成空间中我们只关心向量组所有的线性组合，而不关心向量组是线性无关还是线性相关。当生成空间的这个向量组都线性无关的时候，这个向量组就可以被称为生成空间的基。由此我们可以知道基是一个向量组，并且基的两个性质：1、向量组线性无关，2、向量组可以生成整个空间。

我们可以例举集合常见的基组成的矩阵：A=[1001]B=[100010001]A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\qquad\qquad B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A=[1001]B=⎣⎡100010001⎦⎤ AAA是二维空间中的基，BBB是三维空间中的基。我们可以发现，它们都方阵。我们可以通俗的分析分析，对于nnn维空间，其中的任意一个向量必然有nnn个分量，那么基也不例外，既然其中任何一个向量有nnn个分量，那么空间就有nnn个方向，为了保证能够在这nnn个方向上都能够生成（或者是线性组合得到的向量在nnn个方向上都有分量），这就需要有nnn个线性无关的列向量。至此，我们可以得到：对于RnR_nRn（即nnn维空间），基组成的矩阵应该是n×nn\times nn×n的方阵；基中向量的分量的个数、基中向量的个数与空间的维数是相等的，是密切相关的。不过需要注意的一点是：基所组成的矩阵并不一定是方阵，这是由系数矩阵的列空间所决定的。

前面分析了列空间，这里分析一下零空间，将零空间中的列向量作为系数，对系数矩阵中的列向量进行线性组合那么得到的结果恒为0，也就是系数矩阵中的列向量线性相关，那么我们可以认为，零空间告诉我们怎么才能使得系数矩阵的列向量线性相关。另外，还需要注意的就是零空间的维数，空间的维数等于空间的基中列向量的个数，对于零空间也不列外。