线性代数导论 - #10 线性相关性、向量空间的基和维数

这节课中，我们先讲了前面的课程中一直提及的线性相关性的具体定义，并以此为基础建立了向量空间的“基”和“维数”的定义，最后归纳为一种已知若干向量求其生成的空间的基和维数的系统方法。

首先是线性相关性的定义。

已知一个由n个向量构成的向量组【V₁，V₂，…，V_n】,如果存在n个系数【C_1，C_2，…_，C_n】,使得各C_iV_i（i=1,2,3,…,n）的和为0，则称这组向量线性相关。反之，如不存在，则称其线性无关。

当然，这里要排除C_i均为0的情况。

对于这个定义，有两点注意之处：

1.线性相关性是整组向量的性质，不是某一个或几个向量与另一个向量之间的性质（以此表述为准，#1~#9中的表述可能有误）；

2.系数中可以出现0。

诚然，线性相关的向量组内，存在一个向量能表示为其它若干向量的线性组合的情况，但是这并不意味着该情况是普遍情况。事实上，只有系数非0的向量，才可以通过移项，被表示为其它所有向量的线性组合。如果把线性相关表述为注意1中的“狭隘”形式，很可能带有一种先入为主的观念，干扰后续对于找向量组内的“基”（即剔除一些向量使得余下的向量线性无关）的正确认识。

线性相关性的定义可以用矩阵语言表述为：

对于一个由n个向量构成的向量组，将每个向量均视为列向量后构成的m*n矩阵A的零空间中，若含有非零向量，则线性相关，反之线性无关。

零空间生成的基础是Ax=0，系数的组合所构成的向量生成零空间。矩阵语言下的说法实质上也就是判定Ax=0是否存在非零解。

运用矩阵的一些性质，我们可以把线性相关性进一步抽象为：

若r<n，则线性相关；若r=n，则线性无关。

根据#9中的知识，自由变量/自由列的个数为n-r，如果存在自由变量，我们可以通过将其置为非零值获得非零解。而一个列向量之所以能在消元的过程中变为自由列，就是因为该列向量可以表示为主元列的线性组合。

运用这些结论，请思考：为什么由三（n+1）个及以上二（n）元向量组成的向量组一定线性相关呢？

其次是基和维数的定义。

对于一个给定的向量空间（下简称为空间），如果存在一组向量同时满足：

1.线性无关；

2.能够生成整个空间。

那么称这组向量为该空间的基。

显然，根据空间生成的方式，空间的基是不唯一的。但是它们都具有一个共同点：所包含向量的个数相同。我们将这个固定的个数称为该空间的维数。

一个空间的基包含该空间全部的信息，可以通过各基向量乘上常系数C（比如零空间的表示方法）的形式表示空间。

基和维数的定义建立在“空间已给定”的基础上。所谓的“给定”，显然就是给出了该空间的基，其所包含的向量个数不多也不少，恰好等于维数。

如果已知若干向量，求其生成的空间的基和维数，该怎么办？

根据条件，这些向量是足以生成对应的空间的。但是它们可以直接作为该空间的基吗？不一定，因为它们不一定线性无关。

所以我们要通过以下的方法剔除出那些对于生成空间“没有贡献”的向量，以达到余下的向量线性无关的效果：

1.将这些向量视为列向量写成矩阵的形式；

2.利用消元法确定主元列和自由列；

3.主元列所对应的原来的列向量（不是主元列，行变换过程中列空间发生了改变）即为原列空间的一组基。

根据这个方法，我们可以得到以下这些量之间神奇的等量关系：

矩阵A的r=A中主元/主元列的个数=列空间的维数，也即 dim C(A) = rank(A)。

回想我们在#8中求零空间的基的方法，请思考：对于一个m*n，秩为r的矩阵A，其零空间N(A)的维数是？