参考：张宇高等数学基础30讲

文章目录

1. 引入
2. 向量的概念和运算
3. 向量组的线性表出与线性相关
- 3.1 基础概念
- 3.2 线性相关、线性无关的进一步说明
4. 判别线性相关性的七大定理
- 4.1 定理1
- 4.2 定理2
- 4.3 定理3
- 4.4 定理4
- 4.5 定理5
- 4.6 定理6
- 4.7 定理7
5. 例题
- 5.1 利用行列式判断线性相关/无关
- 5.2 利用定义法判断线性相关/无关
- 5.3 分类讨论

1. 引入

前文我们已经讨论过行列式和矩阵，下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文线性代数（2）—— 矩阵定义及基本运算我们提到过：矩阵是由若干行（列）向量拼成的，而且它们之间存在着某种联系，这种联系说到底就是线性无关的向量个数（独立信息的个数）的问题，也就是这若干个向量组成的向量组中，有几个就足够代表这整个向量组（其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来）。比如向量组 [1,2,3]，[2,4,6]，[6,7,9] 中，向量 [2,4,6] 可以用向量 [1,2,3] 的两倍表示，因此 [2,4,6] 这个向量就是 “多余” 的，不是独立信息
经过仔细排查，我们可以找出某个向量组中能够代表所有成员的一组向量，把它们组成的向量组叫做原向量组的 极大线性无关组，这个组是原向量组的 “代表”。比如 [1,2,3]，[6,7,9] 就是 [1,2,3]，[2,4,6]，[6,7,9] 的极大线性无关组。后面我们会说明，对于同一个向量组，其极大线性无关组中 “代表” 的个数是唯一的。事实上，“代表” 的个数就是独立信息的个数，这个个数就叫做向量组的秩。秩就是独立信息的个数，用这几个独立信息就能表示其他所有信息了。
注意到矩阵就是由向量组拼成的，因此 矩阵的秩、向量组的秩都反映了 “代表” 个数，其本质是一样的
后面我们还会说明一个重要观点：向量与向量间的关系要么线性相关，要么线性无关，这种关系是 “非黑即白” 的

2. 向量的概念和运算

n维向量：n个数构成的一个有序数组 [a1,a2,...,an][a_1,a_2,...,a_n][a1,a2,...,an] 称为一个 nnn 维向量，记作 α=[a1,a2,...,an]\pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n]ααα=[a1,a2,...,an]，并称 α\pmb{\alpha}ααα 为 n维行向量，α⊤=[a1,a2,...,an]⊤\pmb{\alpha}^\top = [a_1,a_2,...,a_n]^\topααα⊤=[a1,a2,...,an]⊤ 称为 n维列向量，其中 aia_iai 称为向量 α\pmb{\alpha}ααα 或 α⊤\pmb{\alpha}^\topααα⊤ 的第 iii 个 分量
向量的运算

3. 向量组的线性表出与线性相关

3.1 基础概念

线性组合：设有 m 个 n 维向量 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 和 m 个数 k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，则向量
k1α1+k2α2+...+kmαmk_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 称为向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合
线性表出：若向量 β\pmb{\beta}βββ 能表示成 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合，即存在 m 个数 k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，使得
β=k1α1+k2α2+...+kmαm\pmb{\beta} = k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m βββ=k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 则称向量 β\pmb{\beta}βββ 能被 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性表出
线性相关：对 m 个 n 维向量 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm，若存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，使得
k1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 称向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性相关
线性无关：若不存在不全为零的数 k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，使得 k1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0}k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立，就称向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性无关；亦即若只有 k1=k2=...=km=0k_1=k_2=...=k_m=0k1=k2=...=km=0 时才有 k1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0}k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立，称向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性无关

3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

含有零向量或有成比例向量的向量组一定线性相关
1. 若含有零向量，可以把零向量对应的系数 kik_iki 设为任意非零数，其他系数 kik_iki 都设成 0，即满足线性相关定义
2. 若有成比例向量，可以把成比例向量的系数 kik_iki 按比例设为正负数值，其他系数 kik_iki 都设成 0，即满足线性相关定义
单个非零向量、两个不成比例向量均线性无关
1. 对于单个非零向量 α\pmb{\alpha}ααα，只有 0⋅α=00 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0}0⋅ααα=000
2. 对于两个不成比例向量 α1,α2\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2ααα1,ααα2，对于 k1α1+k2α2=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2 =0k1ααα1+k2ααα2=0，有 k1=−k2α2/α1k_1 = -k_2 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1k1=−k2ααα2/ααα1，若 α1,α2\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2ααα1,ααα2 线性相关，α2/α1\pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1ααα2/ααα1 必为常数，而这代表 α2/α1\pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1ααα2/ααα1 成比例，矛盾
只有 零向量自己一个向量就能线性相关；其他 所有非零向量自己一个向量都是线性无关的
1. 对于单个零向量，若有 k⋅0=0k·\pmb{0} = \pmb{0}k⋅000=000，kkk 可取任意非零数
2. 对于单个非零向量 α\pmb{\alpha}ααα，只有 0⋅α=00 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0}0⋅ααα=000
向量组要么线性相关要么线性无关，二者必居其一且仅居其一
使用定义法解题：
1. 写出 ∑imkiαi=0\sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0∑imkiαααi=0
2. kik_iki 不全为0 ⇒\Rightarrow⇒ 线性相关；kik_iki 全为0 ⇒\Rightarrow⇒ 线性无关

4. 判别线性相关性的七大定理

4.1 定理1

原命题：向量组 α1,α2,...,αn(n≥2)\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2)ααα1,ααα2,...,αααn (n≥2) 线性相关 ⇔\Leftrightarrow⇔ 向量组中至少有一个向量可以由其他 n−1n-1n−1 个向量线性表出
逆否命题：向量组 α1,α2,...,αn(n≥2)\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2)ααα1,ααα2,...,αααn (n≥2) 线性无关 ⇔\Leftrightarrow⇔ 向量组中任意一个向量不能由其他 n−1n-1n−1 个向量线性表出
原命题证明：
- ∑imkiαi=0\sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0∑imkiαααi=0 时，哪个系数 ki≠0k_i \neq 0ki=0，其对应的 αi\pmb{\alpha}_iαααi 就能被其他向量线性表出

4.2 定理2

若向量组 α1,α2,...,αn\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_nααα1,ααα2,...,αααn 线性无关，而向量组 β,α1,α2,...,αn\pmb{\beta},\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_nβββ,ααα1,ααα2,...,αααn 线性相关，则 β\pmb{\beta}βββ 可以由 α1,α2,...,αn\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_nααα1,ααα2,...,αααn 线性表出，且表示法唯一
证明：

4.3 定理3

原命题：若向量组 β1,β2,...,βt\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_tβββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α1,α2,...,αs\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_sααα1,ααα2,...,αααs 线性表示，且 t>st > st>s，则无论 α1,α2,...,αs\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_sααα1,ααα2,...,αααs 是线性相关还是无关， β1,β2,...,βt\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_tβββ1,βββ2,...,βββt 一定线性相关（以少表多，多的相关）
逆否命题：若向量组 β1,β2,...,βt\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_tβββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α1,α2,...,αs\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_sααα1,ααα2,...,αααs 线性表示，且 β1,β2,...,βt\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_tβββ1,βββ2,...,βββt 线性无关，则 t≤st\leq st≤s
证明原命题

4.4 定理4

原命题：设 m 个 n 维向量 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm，其中
α1=[a11,a21,...,an1]⊤α2=[a12,a22,...,an2]⊤…αm=[a1m,a2m,...,anm]⊤\begin{aligned} &\pmb{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},...,a_{n1}]^\top\\ &\pmb{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},...,a_{n2}]^\top\\ &\dots \\ &\pmb{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},...,a_{nm}]^\top \end{aligned} ααα1=[a11,a21,...,an1]⊤ααα2=[a12,a22,...,an2]⊤…αααm=[a1m,a2m,...,anm]⊤ 则向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性相关 ⇔\Leftrightarrow⇔ 齐次线性方程组 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 有非零解，其中
A=[a11a12…a1ma21a22…a2m⋮⋮⋮an1an2…anm],x=[x1x2⋮xm]\pmb{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\dots & a_{nm} \end{bmatrix}, \pmb{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} AAA=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1ma2m⋮anm⎦⎥⎥⎥⎤,xxx=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎤（即 Ax=x1α1+x2α2+...+xmαm=0\pmb{Ax}= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 + ...+x_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0}AxAxAx=x1ααα1+x2ααα2+...+xmαααm=000，x\pmb{x}xxx 有非零解）
逆否命题：m 个 n 维向量 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性无关 ⇔\Leftrightarrow⇔ 齐次线性方程组 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 只有零解
原命题证明
注：注意到矩阵 A\pmb{A}AAA 中行数（即向量维度） nnn 是方程个，列数（即向量个数）mmm 是未知数数目
1. 若 n<mn<mn<m，即方程个数小于未知数个数，线性方程组 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 求解时必有自由未知量，即必有非零解。因此，任意 n+1n+1n+1 个 nnn 维向量都是线性相关的；nnn 维空间中，任何一个线性无关向量组最多只能包含 nnn 个向量
2. 若 n=mn=mn=m，这时是方阵，可以引入行列式。对于 nnn 个 nnn 维向量 α1,α2,...,αn\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_nααα1,ααα2,...,αααn
  1. 线性相关 ⇔\Leftrightarrow⇔ ∣A∣=∣α1,α2,...,αn∣=0|\pmb{A}| = |\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n| = 0∣AAA∣=∣ααα1,ααα2,...,αααn∣=0 ⇔\Leftrightarrow⇔ Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 有非零解
  2. 线性无关 ⇔\Leftrightarrow⇔ ∣A∣≠0|\pmb{A}| \neq 0∣AAA∣=0 ⇔\Leftrightarrow⇔ Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 只有零解
3. 若 n>mn>mn>m，这时方程个数多于未知数个数，但是方程中可能有因线性相关而冗余的方程，此时可以
  1. 化阶梯型，找出真实方程数目
  2. 使用下面的定理6 / 定理7

4.5 定理5

原命题：
逆否命题：
说明：
1. 定理5和定理4把向量组和线性方程组相联系，定理4从线性方程组角度给出了线性相关和线性无关的定义；定理5从线性方程组角度给出了线性表出的定义
2. 这里 r(⋅)r(·)r(⋅) 代表向量组的秩，下一章再详细说明，这里简单一提：秩代表这组向量中不能被其余向量线性表出的向量的个数，当 β\pmb{\beta}βββ 可以被其他 α\pmb{\alpha}ααα 线性表出时，秩不变；不能时秩改变，其实就是增加了1

4.6 定理6

原命题：如果向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 中有一部分线性相关，则整个向量组也线性相关（部分相关，则整体相关）
逆否命题：如果向量组 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 线性无关，则其中任意部分向量组也线性无关（整体无关，则部分无关）
证明原命题：不妨设 α1,α2,...,αj(j<m)\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_j \space\space(j<m)ααα1,ααα2,...,αααj (j<m) 线性相关，于是有不全为零的数 k1,k2,...,kjk_1,k_2,...,k_jk1,k2,...,kj 使得
k1α1+k2α2+...+kjαj=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj=000 从而有不全为零的数 k1,k2,...,kj,0,...,0k_1,k_2,...,k_j,0,...,0k1,k2,...,kj,0,...,0 使得
k1α1+k2α2+...+kjαj+0αj+1+...+0αm=0k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j + 0\pmb{\alpha}_{j+1}+...+0\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj+0αααj+1+...+0αααm=000 故 α1,α2,...,αm\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_mααα1,ααα2,...,αααm 也线性相关

4.7 定理7

如果一组 nnn 维向量 α1,α2,...,αs\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_sααα1,ααα2,...,αααs 线性无关，那么把这些向量各任意添加 mmm 个分量后所得的新（n+mn+mn+m维）向量组 α1∗,α2∗,...,αs∗\pmb{\alpha}_1^*,\pmb{\alpha}_2^*,...,\pmb{\alpha}_s^*ααα1∗,ααα2∗,...,αααs∗ 也线性无关；如果 α1,α2,...,αs\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_sααα1,ααα2,...,αααs 线性相关，那么它们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的（原来相关，缩短相关；原来无关，延长无关）。注意，延长/缩短向量等价于增加/减少方程数目
注
例：
[12]和[23]线性无关⇒[123]和[234]线性无关\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} 线性无关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 线性无关 [12]和[23]线性无关⇒⎣⎡123⎦⎤和⎣⎡234⎦⎤线性无关
[123]和[246]线性相关⇒[12]和[24]线性相关\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} 线性相关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} 线性相关 ⎣⎡123⎦⎤和⎣⎡246⎦⎤线性相关⇒[12]和[24]线性相关

5. 例题

5.1 利用行列式判断线性相关/无关

此题中向量个数（未知数个数） = 向量维数（方程个数），根据定理4，可以用行列式进行判断

5.2 利用定义法判断线性相关/无关

这个题用定义法证明线性无关。首先写出 ∑imkiαi=0\sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0∑imkiαααi=0 的形式，然后分析系数是否全为0

5.3 分类讨论

这个题没有明确向量个数 sss（未知数个数）和向量维数 nnn（方程个数）间的大小关系，需要分类讨论
1. s>ns>ns>n 时，未知数个数多于方程个数，一定有自由变量，有非零解，必线性相关
2. s=ns=ns=n 时，用行列式是否等于0判断，注意到这里是范德蒙德行列式，直接展开行列式不等于零，线性无关
3. s<ns<ns<n 时，取对应齐次线性方程组靠上的 sss 个方程，这一部分同第2点里 s=ns=ns=n 的情况，发现这部分线性无关，根据定理7，延长后的向量组一定也线性无关

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线性代数（4）—— 向量与向量组的线性相关性

文章目录

1. 引入

2. 向量的概念和运算

3. 向量组的线性表出与线性相关

3.1 基础概念

3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

4. 判别线性相关性的七大定理

4.1 定理1

4.2 定理2

4.3 定理3

4.4 定理4

4.5 定理5

4.6 定理6

4.7 定理7

5. 例题

5.1 利用行列式判断线性相关/无关

5.2 利用定义法判断线性相关/无关

5.3 分类讨论

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