线性代数笔记3 - 向量组的线性相关性

向量及其线性组合

n 个有次序的数 a ₁，a ₂，…，a _n 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第i个数 a 称为第i个分量

向量组的概念
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组

线性相关性

几个定义

线性组合的系数
给定向量组 A：a₁，a₂，…，a_m，对于任何一组实数 k₁，k₂，…，k_m，表达式

k 1 a 1 + k 2 a 2 + … + k m a m k_1a_1 + k_2a_2 + … + k_m a_m k1a1+k2a2+…+kmam

称为向量组 A 的一个线性组合，k₁，k₂，…，k₃ 称为这个线性组合的系数.

向量 b 能由向量组 A 线性表示
给定向量组 A：a₁，a₂，…，a₃ 和向量 b，如果存在一组数λ1，λ2，…，λm，使

b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + … + λ m a m b=λ_1a_1 +λ_2a_2 + … +λ_ma_m b=λ1a1+λ2a2+…+λmam

则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示

向量组到向量组之间的线性表示
设有两个向量组 A：a₁，a₂，…，a_m 及 B：b₁，b₂，…，b_m，若 B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价
(可联想矩阵和矩阵的乘法，将相关的概念对应到乘法：C=AB 中的每一个矩阵，则C代表这里的b，A表示这里的A，B表示系数矩阵)

定理：
向量 b 能由向量组 A：a₁，a₂，…，a_m 线性表示的充分必要条件是矩
阵 A =（a₁，a₂，…，a_m）的秩等于矩阵 B =（a₁ ，a₂，…，a_m，b）的秩
向量的表示运用到线性方程组中
向量组的线性组合、线性表示及等价等概念，也可移用于线性方程组：对方程组 A 的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A 的一个线性组合；若方程组 B 的每个方程都是方程组 A 的线性组合，就称方程组 B 能由方程组 A 线性表示，这时方程组 A 的解一定是方程组 B 的解；若方程组 A 与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组可互推，可互推的线性方程组一定同解
定理：
向量组 B：b₁，b₂，…，b_l 能由向量组 A：a₁，a₂，…，a _m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A =（a₁，a₂，…，a_m）的秩等于矩阵（A，B）=（a₁，…，a_m，b₁，…，b_l ）的秩，即 R (A) = R（A，B）

向量组的线性相关性

定义
给定向量组 A：a₁，a₂，…，a_m 如果存在不全为零的数 k₁，k，…，k_m，使

k 1 a 1 + k 2 a 2 + … + k m a m = 0 k_1 a _1 + k _2 a _2 + … + k_m a _m = 0 k1a1+k2a2+…+kmam=0

则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关

说向量组 a₁，a₂.，…，a_m 线性相关，通常是指 m ≥ 2 的情形，但定义 4 也适用于 m = 1 的情形.当 m = 1 时，向量组只含一个向量，对于只含一个向量 a 的向量组，当 a = 0时是线性相关的，当 a≠0时是线性无关的. 对于含两个向量 a₁，a₂ 的向量组，它线性相关的充分必要条件是 a1，a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线.三个向量线性相关的几何意义是三向量共面

定理
向量组 A：a₁，a₂，…，a_m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A =（a₁，a₂，…，a _m）的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件是 R（A）= m