今天将要讨论的部分个人感觉非常绕，博主也是在阅读了大量相关书籍和文献之后才有所体悟。如有表述不当之处欢迎大家在评论区斧正！

在上一篇博文中，我们知道串并转换使得OFDM的符号速率降低了，可是总体符号传输效率和单载波一样，那为什么还要大费周章搞什么串并转换呢？我们今天一起来看看：

如下图所示，我们在实际的工程中，接收机接收到的OFDM信号不仅仅包括从发射机发射出来的直达信号，还有经过了各种各样物体反射之后到达的信号。信号经过不同路径到达接收机的时间是不一样的。（直达的肯定是最快的）。那么就引出了一个问题：晚到的信号可能会对早到的信号产生影响。

我们知道，OFDM信号是由一个个OFDM符号组成的。我们假设发送的OFDM信号如下所示：

那么这个 OFDM信号在城市中传递给手机的过程，我们就假设成只有两条路径：1. 直达路径 2. NLOS路径。那么接收信号如下图所示：

下方的OFDM信号是NLOS路径传递的，因此我们可以看出它比直达信号延迟了一段时间。这个时间就是多径延时。此外我们也发现：由于多径延时的影响，NLOS路径的OFDM信号的 S1符号的尾部对直达OFDM信号S2符号的开头部分有轻微的影响。

下面我们控制多径延时不变，增大符号速率，我们看看会是什么情况：

这里为了简化我就没有标记 S1,S2,S3S_1, S_2, S_3S1,S2,S3了，大家应该明白这个意思，从图中我们可以看出：在多径延时不变的情况下，符号速率越大，这种因多径效应导致的符号间的干扰（ISI）就越强烈。因此对于 OFDM系统，使用了串并转换之后，符号速率降低了，那么就可以减小符号间干扰（ISI）。

而为了彻底消除多径效应带来的 ISI，我们可以在OFDM符号之间加入一个保护间隔（GI)：

值得注意的是：我们所插入的保护间隔的时长应该要大于无线信道的最大多径时延：

这样一来，我们就可以消除 ISI了。在保护间隔的时间内可以让时延小于 GI 的前一个符号的多径延迟信号衰减到0，而不会对下一个OFDM符号产生影响。

而多径效应除了引发 ISI ，还会带来另外一个问题：在引入了时间保护间隔之后，假定信道的群时延不是一个常数，那么不同的子载波就会存在时延上的差异，即导致OFDM符号的多径延迟信号对本符号的直达信号的干扰。换句话说，还记得我们当时在讲OFDM子载波选取时的积分公式吗：∫02πcos(nx)sin(mx)dx=0∫02πcos(nx)cos(mx)dx=0\int_0^{2\pi} cos(nx)sin(mx)dx =0\\ \int_0^{2\pi} cos(nx)cos(mx)dx =0\\ ∫02πcos(nx)sin(mx)dx=0∫02πcos(nx)cos(mx)dx=0

此时，我们说子载波之间是没有干扰的，但是现在因为多径延迟，比如说我 sin(mx)sin(mx)sin(mx) 这个频率的信号有了一个延迟 ttt ，变成了 sin(m(x−t))sin(m(x-t))sin(m(x−t))，这样一来它与 cos(nx)cos(nx)cos(nx) 的积分就不再是0了。

我们用 Matlab 举个例子来直观地理解一下：

t_gi=0:0.001:1/8;
gi = 0;
figure;
subplot(311);
plot(t_gi, gi,'b');
hold on;
grid on;
t = 0.125:0.001:1.125;
s1 = sin(2*pi*(t-0.125));  %无时延
plot(t, s1,'b');
hold on;
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
axis([0 1.5 -1 1]);subplot(312);
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
t_gi=0:0.001:1/8;
gi = 0;
plot(t_gi, gi,'b');
hold on;
grid on;
t_delay1 = 1/8:0.001:1/4;
delay1 = 0;
plot(t_delay1, delay1);
hold on;
t = 1/4:0.001:1+1/4;
s2 = sin(2*pi*2*(t-1/4));   %延迟1/8s
plot(t, s2,'b');
axis([0 1.5 -1 1]);subplot(313);
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
t_gi=0:0.001:1/8;
gi = 0;
plot(t_gi, gi,'b');
hold on;
grid on;
t_delay1 = 1/8:0.001:3/16;
delay1 = 0;
plot(t_delay1, delay1);
hold on;
t = 3/16:0.001:1+3/16;
s3 = sin(2*pi*4*(t-3/16));   %延迟1/16s
plot(t, s3,'b');
axis([0 1.5 -1 1]);

我们可以发现，在同样的码元周期积分区间内（上图的黑色虚线内），这些载波已经不正交了，因为多径延迟信号在积分周期内已经没有一个完整的信号周期了。这样一来就引发了一个新的问题：ICI（子载波间干扰）。

一种非常简单却有效的做法是——循环前缀（CP) ：我们将每一个OFDM符号最后的内容搬到保护间隔的位置。如果拆分来看，就是我们也可以分别对每一个子载波进行操作：如果是直达信号，就直接把最后长度为 GI 的部分搬到保护间隔中；如果这个子载波还有多径延迟（假设时间为 △T△T△T），那么就把最后长度为 GI + △T△T△T 的部分搬到前面。我们继续用Matlab展示一下：

figure(2);
subplot(311);
t = 0.125:0.001:1.125;
s1 = sin(2*pi*(t-0.125));  %无时延
plot(t, s1,'b');
hold on;
t_gi=0:0.001:1/8;
gi = s1(876 : end);
plot(t_gi,gi,'r');
hold on;
grid on;
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
axis([0 1.5 -1 1]);subplot(312);
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
grid on;
t = 1/4:0.001:1+1/4;
s2 = sin(2*pi*2*(t-1/4));   %延迟1/8s
plot(t, s2,'b');t_gi=0:0.001:1/4;  %length:251
gi = s2(751 :end);
plot(t_gi, gi,'r');
axis([0 1.5 -1 1]);subplot(313);
plot([1/8 1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
plot([1+1/8 1+1/8],[-1 1], 'k--');
hold on;
t = 3/16:0.001:1+3/16;
s3 = sin(2*pi*4*(t-3/16));   %延迟1/8s
plot(t, s3,'b');
t_gi=0:0.001:3/16;           %length:188
gi = s3(814:end);
plot(t_gi, gi,'r');
grid on;
axis([0 1.5 -1 1]);

上图中，红色线就是我们循环前缀补充之后的结果。这样一来，在对每一个码元解调的过程中，只要抽样时间间隔落在保护间隔到码元结束的时间区间隔内（对于上面的例子来说就是区间 [0,1.125][0, 1.125][0,1.125]），就可以保证在任一长为 T（码元周期）的时间段内，各子载波都有整数倍周期，就可以避免OFDM符号中子载波间因为多径时延造成的干扰。

可是，问题又来了：我们现在引入了循环前缀，也就是说OFDM符号的时长从原本的基波周期 TTT 扩展到了基波周期和循环前缀时间的和：Tnew=T+TCPT_{new} = T + T_{CP}Tnew=T+TCP（TCPT_{CP}TCP表示 CP 的时长）。但是细心的同学会发现：我正交子载波的频率并会因为增加了 CP 而改变，该是多少还是多少，那么这就会引发一个大问题：

回顾一下我们之前探讨OFDM频谱的文章：OFDM频谱分析，我们这里再用Matlab给大家分析一下：我们做下面几个假设：

假设原本的基波周期是 T = 1s
假设OFDM系统只采用3个子载波，频率分别为：1Hz, 2Hz, 4Hz
假设我们所就加的CP时长是 1/8 s

我们首先来看看不加CP时的频谱：

%--------------------------不加CP的频域分析------------------------------%
f = -10:0.001:10;
figure;
Ts0 = 1;
X1_ = sinc(f-1);
X2_ = sinc(f-2);
X3_ = sinc(f-4);
plot(f, X1_);
hold on;
plot(f, X2_);
hold on;
plot(f, X3_);
grid on;
title('理想情况下OFDM的频谱');

我们再看看加上 CP 之后的频谱：

figure;
Ts = 1+1/8;
X1 = Ts.*sinc(Ts.*(f-1));
plot(f, X1);
hold on;X2 = Ts.*sinc(Ts.*(f-2));
plot(f, X2);
hold on;
grid on;X3 = Ts.*sinc(Ts.*(f-4));
plot(f, X3);

我们发现：在子载波对应的频点处，居然掺杂了其他频率成分的干扰！也就是说，我们找不到一个特定的频率，上面只有某一个子载波的功率了。

这意味着什么呢？—— 加上CP之后，在传输信道中传输的OFDM符号，其内部各个子载波已经不正交了。

欸，读到这儿大家应该会有疑问了：刚刚你不是说加了CP之后，我们就可以使得子载波在保护间隔到码元结束的时间区间内，在任一长为 T（码元周期）的时间段内，各子载波都有整数倍周期，不就是子载波正交嘛，可是这会儿你怎么又说加了CP之后子载波不正交了呢？？？

这里的区别在于：加上CP之后，在真正传输到信道之前，我们的子载波在原本的码元周期内是正交的。 加上CP后，当OFDM符号真正在信道上传输的时候，子载波是不正交的。

解决方法也非常简单：我们只需要在接收到OFDM符号之后，首先去掉OFDM符号的CP，这样一来，OFDM符号的子载波就又重新回到了正交的状态！

参考文献

[1] 陈爱军. 深入浅出通信原理[M]. 清华大学出版社 (崧博), 2018.
[2] 孙宇彤. LTE 教程: 原理与实现[M]. 电子工业出版社, 2014.
[3] 沈家欢. OFDM系统中子载波干扰分析与抑制技术研究[D].南京信息工程大学,2019.
[4] 给"小白"图示讲解OFDM的原理
[5] 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理[M]. 国防工业出版社, 2006.

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