文章目录

一、多项式乘法和“卷积”
二、“卷积”的计算公式
- 2.1 实例：利用卷积计算两个信号相乘
三、卷积的生动理解
- 3.1 卷积能够用来解决什么问题？
- 3.2 卷积运算的前提条件 —— 线性时不变系统
- 3.3 图解卷积的意义
- 3.4 卷积公式推导再回顾
参考文献

一、多项式乘法和“卷积”

首先，我们来看一个多项式乘法的计算：(x+1)(x2+2x+5)(x + 1)(x^2 + 2x + 5)(x+1)(x2+2x+5)
一般地，我们有：(x+1)(x2+2x+5)=x3+2x2+5x+x2+2x+5=x3+3x2+7x+5\begin{aligned} &(x + 1)(x^2 + 2x + 5)\\ &=x^3 + 2x^2 + 5x + x^2 + 2x + 5\\ &=x^3 + 3x^2 + 7x + 5 \end{aligned} (x+1)(x2+2x+5)=x3+2x2+5x+x2+2x+5=x3+3x2+7x+5
因此，该多项式乘法结果中各项的系数就是：1 3 7 5
总结起来，上面这种方法获得各项系数需要两个步骤：各项相乘、同类项相加

然而，书中却给出了另外一种各加直观简单的办法：

从上图我们可以看出，两个多项式中，下面的多项式按照升幂排列、上面的多项式按照降幂排列。
接着，下面的这一个多项式5+2x+x25 + 2x + x^25+2x+x2从左到右滑过x+1x+1x+1，在滑动过程中，(5+2x+x2)(5 + 2x + x^2)(5+2x+x2)与(x+1)(x+1)(x+1)重叠的地方，对应重叠的部分相乘，再相加。

用下面这个图再感受一下：

到这里，我们先对“卷积”有了一个大概的印象。下面我们推导卷积的公式：

二、“卷积”的计算公式

在上面的例子里面，x+1x+1x+1的系数是(a[1]，a[0]) = （1，1）；5+2x+x25+2x+x^25+2x+x2的系数是(a[0]，a[1]，a[2]） = （5，2，1）
那么计算结果：x3+3x2+7x+5x^3 + 3x^2 + 7x + 5x3+3x2+7x+5中各项系数表示为：
常数项的系数为：c[0]=a[0]b[0]c[0] = a[0]b[0]c[0]=a[0]b[0]
xxx的系数为：c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]c[1] = a[0]b[1] + a[1]b[0]c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]
x2x^2x2的系数：c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]c[2] = a[0]b[2] + a[1]b[1] + a[2]b[0]c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]
x3x^3x3的系数：c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]c[3] = a[0]b[3] + a[1]b[2] + a[2]b[1] + a[3]b[0]c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]

大家注意到了吗：若我们相乘的两个多项式a，b的最高次分别为：n1,n2n_1, n_2n1,n2，那么我们计算各项系数的式子都可以归纳为：c[n]=∑k=0na[j]b[n−k]（0≤n≤n1+n2)c[n] = \sum_{k=0}^na[j]b[n-k] （0 ≤ n ≤ n_1+n_2)c[n]=k=0∑na[j]b[n−k]（0≤n≤n1+n2)

【思考】：我们这时就会想：如果信号可以分解成类似x2+2x+5x^2 + 2x + 5x2+2x+5这样的多项式，同时，还能够保证：xn=f(nω0)x^n = f(nω_0)xn=f(nω0)，那么两个信号相乘就可以通过卷积计算求出来

书中解释了为何要强调满足xn=f(nω0)x^n = f(nω_0)xn=f(nω0)条件：因为我们知道，任何一个周期信号都可以表示成多个频率分量之和：基波分量(ω0=2Πfω_0 = 2Πfω0=2Πf)，二次谐波分量（2ω02ω_02ω0)，三次谐波分量(3ω03ω_03ω0)、、、因此，我们希望信号相乘得到的结果也能够是这样的形式，即是nω0nω_0nω0的函数
【那么，这样的条件是否能够满足呢？】

\quad
我们看看这样的表示：x=f(ω0)=ejω0t=cosω0t+jsinω0tx = f(ω_0) = e^{jω_0t} = cosω_0t + jsinω_0tx=f(ω0)=ejω0t=cosω0t+jsinω0t

那么，x2=(cosω0t+jsinω0t)2=cos2ω0t+2jcosω0tsinω0t−sin2ω0t=cos2ω0t+jsin2ω0t=f(2ω0)\begin{aligned} x^2 &= (cosω_0t + jsinω_0t)^2\\ &=cos^2ω_0t + 2jcosω_0t sinω_0t -sin^2ω_0t \\ &=cos2ω_0t + jsin2ω_0t \\ &=f(2ω_0) \end{aligned} x2=(cosω0t+jsinω0t)2=cos2ω0t+2jcosω0tsinω0t−sin2ω0t=cos2ω0t+jsin2ω0t=f(2ω0)

2.1 实例：利用卷积计算两个信号相乘

比如，我们有两个信号f(t),g(t)f(t), g(t)f(t),g(t)，它们分别为：f(t)=(cos2ω0t+5cosω0t+6)+j(sin2ω0t+5sinω0t)f(t) = (cos2ω_0t + 5cosω_0t + 6) + j(sin2ω_0t + 5sinω_0t)f(t)=(cos2ω0t+5cosω0t+6)+j(sin2ω0t+5sinω0t)
g(t)=(3cosω0t+2)+j3sinω0tg(t) = (3cosω_0t + 2) + j3sinω_0tg(t)=(3cosω0t+2)+j3sinω0t

f(t)f(t)f(t)与g(t)g(t)g(t)相乘，是肉眼可见的麻烦。那么如果用卷积运算的思想能不能简化一些呢？
首先，我们先对信号的表达式进行一些处理：f(t)=(cos2ω0t+5cosω0t+6)+j(sin2ω0t+5sinω0t)=(cos2ω0t+jsin2ω0t)+5(cosω0t+jsinω0t)+6=ej2ω0t+5ejω0t+6\begin{aligned} f(t) &= (cos2ω_0t + 5cosω_0t + 6) + j(sin2ω_0t + 5sinω_0t)\\ &=(cos2ω_0t + jsin2ω_0t ) + 5(cosω_0t + jsinω_0t ) + 6\\ &=e^{j2ω_0t } + 5e^{jω_0t } + 6 \end{aligned} f(t)=(cos2ω0t+5cosω0t+6)+j(sin2ω0t+5sinω0t)=(cos2ω0t+jsin2ω0t)+5(cosω0t+jsinω0t)+6=ej2ω0t+5ejω0t+6
g(t)=(3cosω0t+2)+j3sinω0t=3(cosω0t+jsinω0t)+2=3ejω0t+2\begin{aligned} g(t) &= (3cosω_0t + 2) + j3sinω_0t\\ &=3(cosω_0t + jsinω_0t) + 2\\ &=3e^{jω_0t} + 2\\ \end{aligned} g(t)=(3cosω0t+2)+j3sinω0t=3(cosω0t+jsinω0t)+2=3ejω0t+2
我们令：ejω0t=xe^{jω_0t} = xejω0t=x，那么，f(t),g(t)f(t), g(t)f(t),g(t)就可以表示为:
f(t)=x2+5x+6=6+5x+x2f(t) = x^2 + 5x + 6 = 6+5x + x^2f(t)=x2+5x+6=6+5x+x2；g(t)=3x+2g(t) = 3x + 2g(t)=3x+2

这样，我们知道，卷积之和信号最高项次数为3，那么，由卷积运算公式，得：
c[0]=a[0]b[0]=12c[0] = a[0]b[0] = 12c[0]=a[0]b[0]=12
c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]=10+18=28c[1] = a[0]b[1] + a[1]b[0] = 10+18 =28c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]=10+18=28
c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]=2+15+0=17c[2] = a[0]b[2] + a[1]b[1] + a[2]b[0] = 2 + 15 +0 = 17c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]=2+15+0=17
c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]=0+3+0+0=3c[3] = a[0]b[3] + a[1]b[2] + a[2]b[1] + a[3]b[0] = 0 + 3 + 0 + 0 = 3c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]=0+3+0+0=3
因此，我们得到：卷积之后得到的信号按照降幂排列，各项的系数为：3、17、28、12

因此，输出信号可以表示为：c(t)=3x3+17x2+28x+12=3ej3ω0t+17ej2ω0t+28ejω0t+12\begin{aligned} c(t) &= 3x^3 + 17x^2 + 28x + 12 \\ &= 3e^{j3ω_0t} + 17e^{j2ω_0t} + 28e^{jω_0t} + 12 \end{aligned} c(t)=3x3+17x2+28x+12=3ej3ω0t+17ej2ω0t+28ejω0t+12
怎么样，卷积运算是不是比普通的强算简单？

三、卷积的生动理解

也许到这里，我们可能会计算离散信号的卷积了。可是，我们会有疑问：卷积到底还能来干啥？

下面，我们就来分析“卷积”的意义：

3.1 卷积能够用来解决什么问题？

这里我们需要了解两种概念：
【无记忆系统】

我们看看这个系统，它执行的是对输入信号+2的操作，那么这样的系统：当前的输出仅仅只取决于当前的输入，和之前的输入无关。这样的系统叫做“无记忆系统”

【记忆系统】：这里我们举一个例子就够：“冰冻三尺非一日之寒”。**某一天冰的厚度不仅取决于当天的温度、还取决于之前好几天的温度。**这就叫记忆系统。

那么卷积就是为了计算诸如此类的拥有记忆系统的输出问题

3.2 卷积运算的前提条件 —— 线性时不变系统

所谓“线性系统”，很简单，就是输出与输入成线性关系。（或者说满足叠加定理）

所谓“时不变系统”，就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。
（我们这里这样理解：先暂时抛开“记忆系统”，我们就考虑一个无记忆时不变系统：假设这个系统输入x，输出y（固定关系）。那么系统在t1t_1t1时刻输入x，系统输出y；在t2t_2t2时刻输入x，系统依然输出y，这两个y大小形状完全一样，只不过这两次y出现的时间不一样罢了）

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

3.3 图解卷积的意义

我们假设一个系统，在某一时刻突然收到一个输入信号，但瞬间就又消失了（一个冲击信号），那么系统就会像下图一样缓慢地恢复到原来的状态：

下面我们来看另一种情况：假设这个系统在恢复的过程中（比如说第2s）又收到一个一样的冲击，那么，它就变成这样了：

那么，它的输出会再一次增长（而且会增长到比第一次响应更大的位置），再开始衰减。
如果继续按每隔2s的频率给它冲激响应，就会变成下面这个样子：

那么，某一时刻ttt系统的输出与什么有关呢？答案是：与每一次的冲击响应都有关，但是每一次冲击响应对ttt时刻输出的贡献程度都不一样，距离ttt最近的那一次冲击响应对输出的影响最大。

某一时刻的输出就是之前很多次输入（冲击响应）乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是这个系统的输出大小随时间变化的函数

如果冲击响应再密集一点，就有积分那味儿了：

因此卷积之后得到的结果就是记忆系统输出随时间变化的函数

3.4 卷积公式推导再回顾

还记得我们在3.3中提到的话吗？

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

那么，也就是说我们现在的工作就是先要把输入信号分解成独立的脉冲：

先引入单位冲击函数：
δ(n)={1n=00n≠0δ(n) = \begin{cases} 1 &n= 0\\ 0 &n≠0 \end{cases} δ(n)={10n=0n=0
只有在n = 0时刻，才是单位冲击，其他时刻均为0
下面，我们设输入信号为x(n)x(n)x(n)，某一时刻kkk的输入为：x(k)x(k)x(k)，那么输入信号就可以分解为：x(k)δ(n−k)x(k)δ(n - k)x(k)δ(n−k)
也就是只有当n = k时，输出信号才有值，其他时候没有值。
于是，整个输入信号x(n)就可以表示为所有时刻输入值对应的脉冲信号的累加x(n)=∑−∞+∞x(k)δ(n−k)x(n) = \sum_{-∞}^{+∞}x(k)δ(n - k)x(n)=−∞∑+∞x(k)δ(n−k)

然后，我们还有一个定义：单位脉冲响应：就是单位脉冲信号输入到系统后产生的输出。
如果系统的单位脉冲响应是h(n)h(n)h(n)，那么独立脉冲输出的累加就是：y(n)=∑−∞+∞x(k)h(n−k)y(n) = \sum_{-∞}^{+∞}x(k)h(n - k)y(n)=−∞∑+∞x(k)h(n−k)
这就是卷积的公式！！

参考文献

[1][原创连载]深入浅出通信原理
[2] 信号处理-卷积

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【通信原理入坑之路】——深入、详细地理解通信里面“卷积”概念

文章目录

一、多项式乘法和“卷积”

二、“卷积”的计算公式

2.1 实例：利用卷积计算两个信号相乘

三、卷积的生动理解

3.1 卷积能够用来解决什么问题？

3.2 卷积运算的前提条件 —— 线性时不变系统

3.3 图解卷积的意义

3.4 卷积公式推导再回顾

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