【通信原理 入坑之路】—— 模拟信号的数字编码 之 PCM编码（A律13折线和μ律15折线的编译码剖析）
引言：
在我们的数字通信系统中，一般要发送的绝大多数都是模拟信号。而所谓数字通信，传递的就应该是数字信号。因此，我们首先要对这个待发送的模拟信号进行采样（这在我之前《信号与系统》的相关博客中有详细解读），但是问题来了：我们对一个幅值连续的模拟信号采样，采样值的幅度仍然是有无限多种可能的，尽管他们在时间上离散，可这仍然是一个模拟信号。要想成为数字信号，就必须让这个信号在时间和幅度上都是离散的，即取值只有有限种可能。因此，就需要对采样值的幅度进行量化。PCM编码（脉冲编码调制）就是其中一种方法。
所谓的脉冲编码调制 PCM ，博主对其理解就是将经过采样得到的信号经过量化和编码，从而得到一组二进制码组的过程。既然 PCM 可以理解为这样两个过程，那么我们就分别从这两个过程入手开始讲解。
1. 量化
PCM 编码中实现的是非均匀量化。为什么使用非均匀量化呢？ —— 这是因为在实际的通信系统中，信号幅度可能会在一个很大的范围内变化。以电话通信为例：经过实验证明，幅度较低的信号出现的频率非常高，而幅度特别大的信号出现的概率就比较小。这样一来，如果采用均匀量化，那么小信号的量化就显得十分粗糙了。而换一种思路：如果我们对出现概率很大的小信号，采用更为精细的量化方式；对于出现频率不那么高的大信号，采用略微粗糙的量化方法，可以预见的是这样做对通话质量是有保障的。
上述提到的这种，就是非均匀量化。而实现非均匀量化，我们有下面这样的思路：
首先对信号做某种非线性变换，然后对经过非线性变换的结果进行均匀量化。
以上这种思路，就被引入到了接下来我们要介绍的 A 律13折线：
我们先来看看 A律13折线是怎么构成的：
- 首先对于横轴：在 [0 - 1]区间不均匀地划分为8段：[0,1128],[1128,164],[164,132],[132,116],[116,18],[18,14],[14,12],[12,1][0, \frac{1}{128}], [\frac{1}{128}, \frac{1}{64}], [\frac{1}{64}, \frac{1}{32}],[\frac{1}{32}, \frac{1}{16}],[\frac{1}{16}, \frac{1}{8}],[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}],[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1][0,1281],[1281,641],[641,321],[321,161],[161,81],[81,41],[41,21],[21,1]
而其中，这不均匀的8段里面，我们再在每段里面均匀地划分出16小段。值得注意的是，在同一段里面，这些等分之间的长度是相等的；但是在不同的段里面，这些等分的长度是不相等的。那么，在x轴上，一共就有了：8×16=1288\times16 = 1288×16=128个量化级。 下面，我们就来看看最小的量化间隔是什么：
很明显，8段里面最短的就是第一段，长度为：1128\frac{1}{128}1281，那么在这段里面再做16等分，那么每一个小分的长度就是：1128×116=12048\frac{1}{128}\times\frac{1}{16} = \frac{1}{2048}1281×161=20481，这就是最小的量化间隔，我们记为△△△。【特别值得注意的是：我们上述的讨论都是针对归一化信号而言的，即信号的幅度范围在 ±1 之间，如果题目中给的范围不是归一化的，那么得先将他归一化再来编码】！
那么，我们的横轴就以 △△△ 作为单位。所以8段中各段的起使电平就是：16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△16△, 32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△ - 横轴划分好了，接下来我们就看看y轴怎么划分—— 很简单，对于纵轴，我们先直接在 [0,1][0, 1][0,1] 区间做8等分，得到8个等长的段；接下来还是在每一段里面均匀地做16等分。也就是y也是对应128个量化级。
好啦！这就是 A律13折线的设置，那么为啥叫13折呢？—— 首先对于上面这个图，我们发现第一段和第二段折线的斜率是一样的，而在 [−1,0][-1, 0][−1,0] 区间，靠近0的也有两端折线斜率一样，所以这4条折线合并为1条折线，那么最终在 [−1,1][-1, 1][−1,1] 区间上给人们呈现出来的，就一共有13条折线。故名为 A律13折线。
这里给大家支一招：做题非常好用：不同的考题可能他们的最小量化间隔是不一样的，如果题目说最小量化间隔是1，那么很简单就按照上面的写出各段的起使电平（最大值是 2048△2048△2048△）：0,16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△0,16△, 32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△0,16△,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△
其中，[0,16△][ 0,16△][0,16△],[16△,32△][16△, 32△][16△,32△]他们视为一段，标号从1开始。
\space
如果题目说最小量化间隔是 2 ，那么最大值应该变成（4096△4096△4096△），那么还是一样写出各段的起使电平：0,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△,4096△0,32△, 64△, 128△, 256△, 512△, 1024△, 2048△, 4096△0,32△,64△,128△,256△,512△,1024△,2048△,4096△
其中，[0,32△][ 0,32△][0,32△],[32△,64△][32△, 64△][32△,64△]他们视为一段，标号从1开始。
2. 编码
A律13折线采用 8 位二进制数来进行编码。二进制码组的结构如下：C1C2C3C4C5C6C7C8C_1 \space\space C_2C_3C_4 \space\space C_5C_6C_7C_8C1 C2C3C4 C5C6C7C8
其中，C1C_1C1表示极性码：如果信号是正的，那么 C1=1C_1 = 1C1=1，反之 C1=0C_1 = 0C1=0
C2C3C4C_2C_3C_4C2C3C4 表示段落码：我们刚刚不是说先把x轴不均匀地划分为8段嘛，所以这里的段落码就是指示信号在哪一段的。（例：第一段就是 000；第二段就是 001；第五段就是 100…）
C5C6C7C8C_5C_6C_7C_8C5C6C7C8 表示段内码：因为我们对每一段又进一步做了16等分，所以这个段内码就是指示信号在某一段内的哪个小段。（例：如果在第一小段就是 0000，第二小段就是 0001；第10小段就是 1001…）
3.译码
译码的时候，极性码和段落码的恢复比较简单，值得注意的是段内码的恢复：
首先，由：C5C6C7C8C_5C_6C_7C_8C5C6C7C8确定段内数 mmm，接下来，我们还需要加上 △k2\frac{△_k}{2}2△k这一项（△k△_k△k 表示第 k 段的量化间隔），这是为了能够将误差控制在 ±△k2±\frac{△_k}{2}±2△k 范围之内。
4. 对数PCM码与线性PCM码的互相转换
因为我们现在用PCM方法编码得到的是对数码，无法直接进行数值运算，因此需要转为线性PCM码。这很简单，我们下面介绍一下：
首先我们先将获得的对数PCM编码转换为十进制数 y^\hat{y}y^，假设我们的最小量化间隔是 12048\frac{1}{2048}20481时，那么 y^\hat{y}y^ 的最大取值将会是 2048，需要11位二进制数来表示。所以我们最后就直接把十进制数转为11位二进制数即可。【但是值得注意的是：8位二进制码转11位二进制码，由于量化间隔的问题，会出现不可分辨部分，所以我们一般可以通过查表得到转换结果】
而将线性PCM码转为对数PCM码那就直接是PCM编码的过程了——先将线性码转为十进制数，然后对这个十进制数做PCM编码即可。
最后一点就是：A律压缩变换对于小信号区域，信噪比SNR有24dB的提升。
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