复变函数：傅里叶级数

1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图：

而后，其他数学家猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2 分解的思路

常数项的分解

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，其周期是任意实数，所以，对于 y=C,C∈Ry=C,C\in \mathbb{R}y=C,C∈R 这样的常数函数，分解里面要添加一个常数项与之对应。

其他部分的分解

其他部分可以通过sin⁡(x),cos⁡(x)\sin(x),\cos(x)sin(x),cos(x)两个三角进行分解，主要思路如下：

sin⁡(x),cos⁡(x)\sin(x),\cos(x)sin(x),cos(x)是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数，且它们的微分和积分都很简单。
任意函数都可以分解成奇偶函数之和：
f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2=feven+foddf(x)={f(x)+f(-x)\over 2}+{f(x)-f(-x)\over 2}=f_{even}+f_{odd}f(x)=2f(x)+f(−x)+2f(x)−f(−x)=feven+fodd
sin⁡(x)\sin(x)sin(x)是奇函数，奇函数与奇函数加减永远是奇函数
cos⁡(x)\cos(x)cos(x)是偶函数，偶函数和偶函数加减永远是偶函数

保证组合的周期为T

之前提到f(x)f(x)f(x)是周期为T的函数，那么怎么保证组合出来的函数周期仍然为T呢？

首先，我们知道sin⁡(x)\sin(x)sin(x)的周期为2π2\pi2π，sin⁡(2x)\sin(2x)sin(2x)的周期也是2π2\pi2π，但是最小周期是π\piπ，很显然，sin(nx),n∈Nsin(nx),n\in Nsin(nx),n∈N的周期都是2π2\pi2π。所以更一般地，如果f(x)f(x)f(x)的周期为T，那么 sin(2πnTx),cos(2πnTx),n∈Nsin({2\pi n\over T}x),cos({2\pi n\over T}x),n\in Nsin(T2πnx),cos(T2πnx),n∈N 这些函数的周期也为T，将这些函数进行加减，就保证了得到的函数周期也为T。

调整振幅

假如有如下这个函数，周期为2π2\pi2π：

现在我们也有一些周期为2π2\pi2π的函数，比如sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如sin(x)sin(x)sin(x)处处小于目标函数：

将其振幅增大一倍可得 2sin⁡(x)2\sin(x)2sin(x) ：

此时 2sin(x)2sin(x)2sin(x) 有地方超出目标函数，此时我们从周期为2π2\pi2π的函数中选择一个，减去一点（下面以2sin(x)−sin(2x)2sin(x)-sin(2x)2sin(x)−sin(2x)为例）：

通过调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

综上，构造出来的三角函数和类似于如下的样子：

这符合之前的分析：

有常数项
用奇函数和偶函数组合出任意函数
周期为T
调整振幅，逼近原函数

3 sin⁡(x),cos⁡(x)\sin(x),\ \cos(x)sin(x), cos(x)的另外一种表示方法

欧拉公式：

eiθe^{i\theta}eiθ 代表复平面一个夹角为 θ\thetaθ 的向量：

当 θ\thetaθ 不再是常数，而是代表时间的变量t的时候：eiθ→eite^{i\theta }\to e^{it}eiθ→eit，随着时间t的增长，θ\thetaθ不断增大，这个向量就会旋转起来，2π2\pi2π的时间会旋转一圈，这就是T=2πT=2\piT=2π

通过欧拉公式表示sin(t)sin(t)sin(t)

根据欧拉公式，有：eit=cos(t)+isin(t)e^{it}=cos(t)+isin(t)eit=cos(t)+isin(t)，所以，在时间轴t上，把 eite^{it}eit 向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是sin(t)sin(t)sin(t)：

代数上用ImImIm表示虚部：

sin(t)=Im(eit)sin(t)=Im(e^{it})sin(t)=Im(eit)

作为对比，记录ei2te^{i2t}ei2t的虚部，此时我们可以得到sin(2t)sin(2t)sin(2t)：

如果在时间轴t上，把 eite^{it}eit 的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 cos(t)cos(t)cos(t) 的曲线：

代数上使用ReReRe代表实部：

cos(t)=Re(eit)cos(t)=Re(e^{it})cos(t)=Re(eit)

更一般的，在eiwte^{iwt}eiwt图像中，我们可以观察到旋转的频率（能反应不同频率旋转的快慢，下面的动图更好理解），所以称为频域；而在sin⁡(t)\sin (t)sin(t)图像中我们可以观察到流逝的时间，所以称为时域：

4 通过频域求系数：

假设有这么一个函数：

g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)

可以看出这是一个 T=2πT=2\piT=2π 的函数：

如果转到频域去，那么函数g(x)g(x)g(x)就是下面这个复数函数的虚部：

g(t)=Im(eit+e2it)g(t)=Im(e^{it}+e^{2it})g(t)=Im(eit+e2it)

我们先看下 eiθ+ei2θe^{i\theta}+e^{i2\theta}eiθ+ei2θ ，其中 θ\thetaθ 是常数，很显然这是两个向量之和：

将θ\thetaθ换成流逝的时间t，并将虚部记录下来，此时就得到了g(t)g(t)g(t)：

函数向量

从上面的讨论我们可以看出，eiwte^{iwt}eiwt是一个旋转的向量。而根据欧拉公式，有：

eiwt=cos(wt)+isin(wt)e^{iwt}=cos(wt)+isin(wt)eiwt=cos(wt)+isin(wt)

从图像上看：

这里sin(wt),cos(wt)sin(wt),cos(wt)sin(wt),cos(wt)也是向量。

eiwt,sin(wt),cos(wt)e^{iwt},sin(wt),cos(wt)eiwt,sin(wt),cos(wt)都称为函数向量，其点积定义如下：

待补充

g(t)是一个线性组合

从上面的讨论，我们可以得到sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：

g(t)=sin(t)+sin(2t)g(t)=sin(t)+sin(2t)g(t)=sin(t)+sin(2t)

根据点积定义有：

sin(t)⋅sin(2t)=∫02πsin(t)sin(2t)dt=0sin(t)\cdot sin(2t)=\int_{0}^{2\pi}sin(t)sin(2t)dt=0sin(t)⋅sin(2t)=∫02πsin(t)sin(2t)dt=0

根据点积的代数和几何意义（待补充），sin(t)⋅sin(2t)=0sin(t)\cdot sin(2t)=0sin(t)⋅sin(2t)=0说明了这两个函数向量正交、线性无关且是正交基。

如果写成如下形式：

g(t)=1sin(t)+1sin(2t)g(t)=1sin(t)+1sin(2t)g(t)=1sin(t)+1sin(2t)

那么就可以理解为g(t)g(t)g(t)在正交基sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)下的坐标为(1,1)(1,1)(1,1)。

如何求正交基的坐标

假设

w→=2u→+3v→\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}w=2u+3v

其中，u→=(11),v→=(−11)\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}u=(11),v=(−11)

通过点积：

u→⋅v→=0\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0u⋅v=0

可知这两个向量正交，是正交基，w→\overrightarrow{w}w在基u→,v→\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}u,v下的坐标为(2,3)(2,3)(2,3)，其中在基u→\overrightarrow{u}u下的坐标可以通过这种点积操作来计算（注意只有对正交基才能这么做）：

w→⋅u→u→⋅u→=(−1,5)⋅(1,1)(−1,1)⋅(−1,1)=2{\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}\over\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}={(-1,5)\cdot(1,1)\over(-1,1)\cdot(-1,1)}=2u⋅uw⋅u=(−1,1)⋅(−1,1)(−1,5)⋅(1,1)=2

如何求 sin⁡(nt)\sin(nt)sin(nt) 基下的坐标

对于

g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)

其中g(x)g(x)g(x)是向量，sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)是正交基，周期T=2πT=2\piT=2π。

因为是正交基，根据刚才的分析，我们可以通过如下的方式求基sin(t)sin(t)sin(t)下的坐标：

g(t)⋅sin(t)sin(t)⋅sin(t)=∫02πg(x)sin(x)dx∫02πsin2(x)dx=1\frac{g(t)\cdot sin(t)}{sin(t)\cdot sin(t)}=\frac{\int_0^{2\pi}g(x)sin(x)dx}{\int_0^{2\pi}sin^2(x)dx}=1sin(t)⋅sin(t)g(t)⋅sin(t)=∫02πsin2(x)dx∫02πg(x)sin(x)dx=1

更一般的情况

对于之前的假设，其中f(x)f(x)f(x)的周期为T：

可以改写成这样：

也就是说向量f(x)f(x)f(x)是以下正交基的线性组合：

这里111也是一个基，那么可以得到：

C也可以通过点积来表示，最终可以得到傅里叶级数的表达式：

其中（下面的式子其实就是在求坐标）：

5 傅里叶级数的另外一种表现形式

根据欧拉公式：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ

我们可以推出：

sinθ=eiθ−e−iθ2icosθ=eiθ+e−iθ2sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}sinθ=2ieiθ−e−iθcosθ=2eiθ+e−iθ

根据上式，我们可以写出傅里叶级数的另外一种形式：

f(x)=∑n=−∞∞cn⋅ei2πnxTf(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}f(x)=n=−∞∑∞cn⋅eiT2πnx

其中：

cn=1T∫x0x0+Tf(x)⋅e−i2πnxTdxc_n=\frac{1}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dxcn=T1∫x0x0+Tf(x)⋅e−iT2πnxdx

解读一下：

对于复数函数，定义的点积为：

其中f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)为复数函数，f(x)‾\overline{f(x)}f(x)是f(x)f(x)f(x)的共轭，所以cnc_ncn的代数表达式中有一个负号。

注意，这样顶级点积是为了保证：

x→⋅x→≥0\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{x}\ge0x⋅x≥0

参考：

https://www.matongxue.com/madocs/619.html