【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间的关系

上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

【 MATLAB 】离散傅里叶变换（DFT）以及逆变换（IDFT）的MATLAB实现

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

$\tilde X(k) = DFS[\tilde x(n)] = \sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)W_N ^{nk}$ （1）

其中：

$W_N = e^{-j \frac{2\pi}{N}}$

综合公式：

$\tilde x(n) = IDFS[\tilde X(n)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}\tilde X(k)W_N^{-nk}$ （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：

$X(k)=DFT[x(n)]=\begin{cases} \tilde X(k), & \text{ } 0 \leq k \leq N-1 \\0, & \text{ } else \end{cases} = \tilde X(k)R_N(k)$ （3）

$X(k)=\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)W_N^{nk},0\leq k \leq N-1$ （4）

综合公式：

$x(n)=IDFT[X(k)]=\tilde x(n) R_N(n)$ （5）

$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn},0 \leq n \leq N-1$ （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到博文：【 MATLAB 】DFS 与 z 变换之间的关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

$x(n) = \left\{\begin{matrix} nonzero, &0 \leq n \leq N-1 \\ 0 ,& else \end{matrix}\right.$ （7）

那么，能求它的 z 变换为：

$X(z) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)z^{-n}$ （8）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 $\tilde x(n)$ ，即

$x(n) = \left\{\begin{matrix} \tilde x(n), &0 \leq n \leq N-1 \\0, & else \end{matrix}\right.$ （9）

$\tilde x(n)$ 的DFS给出为：

$\tilde X (k) = \sum_{n = 0}^{N-1} \tilde x(n)e^{-j \frac{2 \pi}{N}nk} =\sum_{n = 0}^{N-1} x(n)[e^{j \frac{2 \pi}{N}k]^{-n}}$ （10）

将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

$\tilde X(k) = X(z) |_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}$ （11）

这就是说，DFS $\tilde X(k)$ 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

接着讨论DFS和DTFT的关系。

这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

$X(e^{jw})=\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-jwn}=\sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-jwn}$ （12）

对比z变换的公式（8），不难看出：

$X(e^{jw}) = X(z)|_{z = e^{jw}}$ （13）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS $\tilde X(k)$ 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS $\tilde X(k)$ 是对DTFT $X(e^{jw})$ 上的等间隔采样。采样间隔为 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（12）为:

$X(e^{jw})=\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-jwn}=\sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-jwn}$

DFS为：

$\tilde X(k) = DFS[\tilde x(n)] = \sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)W_N ^{nk}$

$W_N = e^{-j \frac{2\pi}{N}}$

可以看出，

$\tilde X(k) = X(e^{jw})|_{w = \frac{2\pi}{N}k}$ （14）

令

$w_1 = \frac{2\pi}{N}and w_k = \frac{2\pi}{N}k = kw_1$ （15）

这样，

$DFS \tilde X(k) = X(e^{jw_k})=X(e^{jkw_1})$ （16）

这意味着 DFS 可以通过以 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子（13）：

$X(e^{jw}) = X(z)|_{z = e^{jw}}$

以及式子（14）：

$\tilde X(k) = X(e^{jw})|_{w = \frac{2\pi}{N}k}$

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 $w_1 = \frac{2\pi}{N}$ 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

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