傅里叶变换处理音频c++_积分变换（1）—

学习阶段：大学数学，积分变换。

前置知识：微积分、线性代数、复变函数。

我们是如何区分开两个同时说话的人的声音的？要知道，声音本质是一种机械波，波具有叠加性，同时说话的两个人的声波叠加之后是一种混乱的波形，人却能自然而然地把它们分离开，知道哪部分声音是同一个人发出的，这其中有什么原理？

实际上，不同人说话的声波有不同的特性。男人声音低沉，也即声波频率较低；女人声音尖亮，也即声波的频率较高。声波的频率不同，则音调不同，听感也不同。同一个人说话声音的频率相近，把混合声波中频率相近的部分分离出来，就能得到每个人各自说话的波形。人的大脑自带这个功能，但是这个原理在数学上具有相当的难度，很晚（19世纪）才被傅里叶等人提出来。

积分变换在信号处理、音频处理、图像处理、解微分方程等领域有着重要的作用。

对于一个值随时间变化的函数

，傅里叶变换告诉我们如何从中分解出频率不同的部分。傅里叶级数是局部的傅里叶变换，用离散频率的周期函数来线性表示一定区间上的

，它是考虑无穷区间的傅里叶变换的基础。

1. 周期函数的线性组合

我们要把函数

分解为频率不同的部分，也就是让一些有不同频率的周期函数加起来等于

. 根据波的叠加与线性代数的思想，我们希望可以把

分解为

其中

是周期函数，具有特定的频率

. 现在我们需要先确定使用哪些周期函数

，然后确定出系数

分别是多少。

这组函数

可视为基底，可以线性表示各种各样的函数。我们当然希望基底越简单越好，而且应具有正交性，这在第5节中有论述。

2. 最简单的周期函数：匀速圆周运动

匀速圆周运动是最简单的周期运动。根据欧拉公式，复平面上绕着单位圆的匀速圆周运动可记为

这里的

是实数，被称为

角速度/角频率，控制着旋转的频率。

越大，旋转越快。

为正数表示逆时针旋转，为负数表示顺时针旋转。如图1所示：

图1 e^(iωt)

易得

的周期为

，即转一整圈所需的时间。

3. 函数

的性质

函数

有一些非常好的性质。

让

乘以常系数

，相当于改变圆周运动的起点到

点，但不改变圆周运动的中心（仍是原点）和频率。根据复数乘法的性质，复数相乘时，模长相乘，辐角相加，容易得到这个结论。

的模长

决定了圆周运动的

半径/振幅，

的辐角

决定了圆周运动的

起始角度/相位。如图2所示：

图2 改变圆周运动的起点至c

另外，由于圆周运动的中心恒为原点，故下式成立：

该积分值的物理意义是：n层圆周的重心（或运动位置的平均值）乘以运动时间

. 这个值显然是0，证明其实也很容易：

当

时，相当于一直停留在起点不动，此时积分值不为0，而是

4. 傅里叶级数

4.1 复值函数的指数形式

改变函数

的

会得到一系列函数。选用哪些函数呢？为了让这些函数有一定的共性以简化问题，我们使用一批共同具有周期

的函数。记其中最慢的频率为基准角频率

，则

，所有函数的频率都是

的整数倍，故这一系列函数可表示为

. 如图3所示：

图3 具有相同周期T的各种圆周运动

由第1节的思想，设函数

可表示成

计算

有非常巧妙的算法：在上式两端同时乘以

得

在上式两端同时做

到

的定积分。根据第3节

的性质(1)式有

故

称数列

为

的

离散频谱，因为它完整记录了一系列角频率不同的，分别为

的圆周运动作为

分量的系数。最终得到的级数

在

上收敛于

，称之为

的

傅里叶级数的指数形式。指数形式对于函数值为复数的

亦适用。

离散频谱

的求法可以从几何角度来理解。函数

可以视为在复平面上画图，在时刻

笔尖落在

点。函数

相当于让

随时间变化时还要加上一个“反向旋转”，让其中

这一旋转分量始终停留在起点不动，而其他旋转分量依然有着周期

，只不过频率改变了。积分

求的是周期

内的路径的重心，由于其他旋转分量的重心为零，而

留在起点不动，重心正好是

，因此该积分求出的正好是

的值。

该求法和泰勒级数系数的求法有着异曲同工之妙。对多项式函数

求

次导，并代入

，会发现有且仅有

这一项不是零，从而求出

的值；让一系列匀速圆周运动的合成

进行“反向旋转”，即乘以

，会发现有且仅有

这一项的重心不是零，从而求出

的值。

4.2 实值函数的三角形式

如果

是实值函数，还可以把傅里叶级数写为三角形式。由(2)式得

因为

为实值，故

也为实值，

与

互为共轭复数。将傅里叶级数两两配对得

将

记为

，那么

，代入上式可得

一对圆周运动之和在图形上如图4所示：

图4 一对圆周运动之和

(3)式是傅里叶级数的三角形式之一。其中

记录了所有的振幅，称之为

离散振幅谱；

记录了所有的相位，称之为

离散相位谱。

用两角和差公式可将(3)式打开，得到

注意到

，故

记

那么

(4)式是傅里叶级数的另一种三角形式。

至此，离散频谱

的实部、虚部、模长、辐角的物理意义都已经找到了。

*5. 函数向量的标准正交基

上述作为基底的函数被称为函数向量。用某种方式定义了它们的内积之后，可以证明我们所使用的函数基底为标准正交基，也就是最简形式了。

自定义内积，涉及到内积空间，这是泛函分析课程所涉及的内容。（我没有学过泛函分析，因此相关内容只是我自己粗浅的理解，可能有谬误。）

5.1 指数形式的标准正交基

定义

与

的内积为：

利用第3节

的性质，容易证明

构成一组标准正交基。实际上4.1节计算

的巧妙方法，正是利用了基底的正交关系：用一个向量内积所有其他向量都得0.

5.2 三角形式的标准正交基

定义

与

的内积为：

先将三角函数化为指数函数，再利用第3节

的性质，容易证明

构成一组标准正交基。

附录

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