对傅里叶级数和傅里叶变换的理解
前言
以前学信号、高数、复变函数接触过傅里叶级数和傅里叶变换，现在整理一下目前自己对傅里叶级数、傅立叶变换浅薄的理解，本文参考了李永乐老师的科普和一些知乎上的文章，如有冒犯之处请联系我。如有错误的地方和不足之处，希望大家多多指正。
傅里叶级数与傅里叶变换
1807年，法国数学家傅立叶提出了一个有趣但具有争议性的论点：任何周期信号可以由一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。我们知道：简单来说，若两个信号的周期之比为有理数，那么这两个信号的和仍然是周期信号。这就好像是通过可乐的配方制作出了一杯可乐（即一组正弦波组成了一个周期信号），而傅立叶则想通过可乐去找到他所含有的每一个配方成分（即从一个周期信号去分解出组合成他的正弦波）。但是这个观点遭到了拉格朗日的强烈反对，因为他认为三角级数的适用范围极其有限，不可能把例如导数不连续的信号表示出来（事实确实如此，在用三角级数近似倒数不连续信号时，在不可导点会出现吉布斯现象，也就是我们实验时示波器观察信号会发现一个跳跃）。
而直到1829年，狄利克雷在给出了若干条件的前提下，证明了傅立叶的观点的成立。于是我们知道了用一组标准正交基1、sin(nwt)、cos(nwt) 的线性组合可以表示任意的周期信号（可以类比于空间中一组标准正交基可以表示空间中的任意一个向量），如图用正弦波可以去近似矩形波。从时域上看，也就是左边看，可以看出一个叠加出来的矩形波，而从频域上看，也就是从右边看，可以看出他是不同频率信号的叠加。（也就是我们画的频谱图）。每一个频率还对应一个相位。所以，时域上的信号可以分解成多个信号。而知道了频率、相位和振幅三个信息也能够将频域信号转换成时域信号。
但是，傅立叶级数只能解决周期信号的分解，现实情况下，我们常常遇见的是一个非周期的信号。那么如何分解一个非周期的信号？首先非周期信号只要将它看做一个周期信号，只不过他的周期趋向于∞，这时候频谱图会从离散谱变成连续谱。其次，欧拉公式告诉我们cosθ+isinθ=exp(iθ)，其中θ=wt，它代表了一种正交基的一个组合。那么比如我们现在要找看某个信号是否含有频率为w的正弦信号，只要用这个信号和exp(-jwt)积分，若不含有w成分则为0，不为0则表示含有w的成分。这样就实现了把一个非周期的信号拆分成很多个的正弦信号。
对傅里叶级数和傅里叶变换的理解相关推荐
- 真正理解傅里叶级数和傅里叶变换
真正理解傅里叶级数和傅里叶变换 记得上大学的时候的机械振动还有工程测试利用的傅立叶变化,当时感觉云里雾里的,感觉好难,也就没有去搞,浑水摸鱼也就过来了,然后现在到了研究生阶段,发现傅立叶变换呀,卷积呀 ...
- 基于MATLAB去理解掌握傅里叶级数和傅里叶变换
1.周期信号的傅里叶级数 f(t)=f(t+T) F0=1/T为基波频率 满足狄利赫里条件则周期信号可以展开为三角函数的线性组合 (1) 在一个周期内,函数f(t)为连续或只含有有限个第一类间断点: ...
- 《数字图像处理》-（3）-1从傅里叶级数到傅里叶变换详细推导以及傅里叶图像的性质
1 傅里叶级数到傅里叶变换公式推导 1.1傅里叶级数 傅里叶级数:周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加,且这些波的频率都是原始信号频率的整数倍.用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以 ...
- 傅里叶级数、傅里叶变换、短时傅里叶变换 公式
傅里叶级数.傅里叶变换和短时傅里叶变换都是信号处理中常用的工具,它们可以帮助我们分析信号的频谱结构和周期性特征.下面是对这三个概念的详细介绍: 傅里叶级数 傅里叶级数是一种将周期信号分解成一组正弦和余 ...
- 傅里叶级数、傅里叶变换、量子傅里叶变换（学习笔记）
量子傅里叶变换 一开始看到这个题目我是这样的: 然后我开始了有关傅里叶变换的学习,我从某站上面截了一张图:顺便附上某站的链接,视觉上很享受. 形象展示傅里叶变换 一.傅里叶级数 在开始这一个部分 ...
- 【FFT夯实基础系列】手写笔记合集|傅里叶级数、傅里叶变换
B站up主@mazonex推出的宝藏系列视频课笔记 因为是数学类的,所以笔者采用了手写并导出的形式 这一篇合集包括了up主[傅里叶夯实基础系列]视频的P1-P6,可以通过上方链接看具体视频 目录 傅里 ...
- 傅里叶级数和傅里叶变换超详细推导（DR_CAN）
傅里叶级数和傅里叶变换超详细推导(DR_CAN) Part I 三角函数的正交性 Part Ⅱ周期为2π\piπ的 f(x)的傅里叶展开 Part Ⅲ 周期为"2L"的函数展开为傅 ...
- 离散时间傅里叶变换（理解推导）
文章目录 傅立叶级数和傅立叶变换 离散时间傅立叶变换推导 (DTFT) DTFT和CTFT的比较 Tips: 此贴适合有一定傅里叶变换和傅里叶级数基础的人观看.意在帮助大家更好的理解DTFT和CTFT ...
- 如何避免FFT（matlab）计算傅里叶级数与傅里叶变换时存在的混叠（aliasing）和泄露（leakage）问题
文章目录 前言 1. 周期信号的傅里叶级数 1.1 周期信号的多种傅里叶表示形式 1.2 周期信号傅里叶级数系数的计算 2 非周期信号的傅里叶变换 2.1 非周期信号的傅里叶变换 2.2 傅里叶级数与 ...
最新文章
- 数据集和神经网络共同进步之代码之路
- Java byte 踩坑基础
- 滤波电容、去耦电容、旁路电容作用
- 【操作系统原理及Linux实践】 四cpu调度scheduling
- Python学习笔记：藉由私有属性实现封装
- Java 8 Optional 类 学习
- 网易数帆、云音乐、Intel、有赞最新大数据实践（PPT下载+视频回放）
- con排插与单片机相连_单片机与电路绘图自学手册
- OSChina 周五乱弹 ——给网戒中心打电话，结果……
- SSH信任关系配置(免密码登录)
- MySQL查询数据库表记录数
- 【Web开发的架构】
- 量化策略——准备2 量化技能树量化术语
- 初中教资计算机考试知识点,教资考试初中物理电学知识点总结来了
- Vue3 使用expose让父组件直接修改子组件的值
- 前端开发规范（二）——CSS 命名规范
- 【牛客网】华为机试题（00、C++版本）
- 本地域名设置和跨域行为
- Python3抓取Bing每日图片做桌面背景，并设置为开机更新背景
- 使用IIS网址重写来阻止图像热链接，渗漏和邪恶Splogger