【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）及 IDFS 的 MATLAB 实现

有关离散傅里叶级数（DFS）我之前也写过一些博文，例如：离散周期信号的傅里叶级数(DFS)

这里我再次给出标准公式。

分析式：

$\tilde X(k) = DFS[\tilde x(n)] = \sum_{n = 0}^{N-1}\tilde x(n)W_N ^{nk}$

其中：

$W_N = e^{-j \frac{2\pi}{N}}$

综合式：

$\tilde x(n) = IDFS[\tilde X(n)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}\tilde X(k)W_N^{-nk}$

这里我必须先声明，关于分析式和综合式前面那个系数1/N，到底在分析式的前面还是综合式的前面，不同的书籍定义还不一样，这个我们无所谓了。这里先以这里为准！

先看看分析式，使用MATLAB进行编程时，我们可以使用循环嵌套的方式编程，但是这样做不高效并且很麻烦，这不是我们提倡的做法，我们提倡使用向量化编程，我顺手推到了一下向量化编程的形式：

这里声明，n,k都是行向量，x以及X都是列向量的前提下推导的。

给出手稿版，写的不太详细，但是我想看我这篇博文的人肯定都是本专业的人，所以应该是能看懂的，只需点播而已：

根据这个最后的形式，我们给出dfs的函数程序，为了编程方便，我们同时约定X以及x也为行向量吧。

function [Xk] = dfs(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Series Coefficients
%______________________________________________
% [Xk] = dfs(xn,N)
% Xk = DFS coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn = One period of periodic signal over 0 <= n <= N - 1
% N = Fundamental period of xnn = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = n'*k;
WNnk = WN .^ nk;   %DFS matrix
Xk = xn * WNnk;

下面研究IDFS，同样给出手稿版推导向量化编程方案：

上面少了一个负号，在所有的n*k的值前面加一个负号即可。

直接给出MATLAB函数：

function [xn] = idfs(Xk,N)
% Computes Discrete Fourier Series Coefficients
%______________________________________________
% [xn] = idfs(Xk,N)
% Xk = DFS coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn = One period of periodic signal over 0 <= n <= N - 1
% N = Fundamental period of xnn = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = k' * n;
WNnk = WN .^(- nk);   %IDFS matrix
xn = (Xk*WNnk)/N;

上面的推导可谓是一目了然，那么下面给出一个小例子，来体会下这两个函数的应用。

clc;clear;close all;xn = [0,1,2,3];
N = 4;
Xk = dfs(xn,N)xn = idfs(Xk,N)

Xk =

6.0000 + 0.0000i -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i

xn =

0.0000 - 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 3.0000 + 0.0000i

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