HDU - 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻(数位dp)
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题目大意：给出闭区间[l,r]，求出区间内与7不沾边的数的平方和
与7有关的条件：
- 整数中某一位是7；
- 整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
- 这个整数是7的整数倍；
题目分析：抛去平方和，如果改成统计有多少个符合条件的数字，那就是传统的数位dp了，只需维护一个dp[pos][sum1][sum2]即可，pos表示位数，sum1表示第二个条件的余数，sum2表示第三个条件的余数，向下传递的时候按照规则模拟即可，如果不懂的话看一眼代码就好了
下面重点讲一下如何处理平方和，关于维护数位dp中的平方和，我看到网上一个很巧妙的方法，需要维护三个值，分别是符合条件的数量，截止到当前位的符合条件的数值总和，截止到当前位的符合条件的平方和，为了方便传递，这里用一个结构体封装一下。
那么下面先介绍参数变量，数量用cnt表示，总和用sum表示，平方和用powsum表示，然后按照传统数位dp的思想，我们需要用到回溯法，从最高位先下传到最低位然后回溯，随后自底向上不断传递状态，那么我们可以假设两个结构体：ans和temp，ans表示当前递归函数正在处理的数据，temp表示已经从底部返回上来的数据，即已经处理完成的数据，返回到ans中进一步处理。
如果不太理解ans和temp的关系，我再进一步说明一下，举个例子，ans正在处理当前数位从0~9的数字，每个数字下传后返回上来的结果，那么temp就表示每个数字下传返回上来的结果，也就是说ans比temp高一级。
大概是这个样子的一个关系
然后就是需要处理cnt，sum和powsum这三个参数该如何传递了
关于cnt，就是最基础的数位dp的传递思路，只需要不断累加就行，这里不过赘述，直接写出转移方程：
ans.cnt+=temp.cnt;
关于sum，我们首先可以先将当前表示的数字重构一下，表示为，i表示为最高位，x表示为剩余的低位部分，不过这只是表示的一个符合条件的数的sum，我们目前一共有cnt个数符合条件，所以这个结果需要乘以cnt，那么就显而易见了，x就相当于已经处理完的上一级返回的sum的值了，想一想是不是？为了表示方便，我们用一个辅助数组p，来存储每一位的进制，即p[1]=1,p[2]=10,p[3]=100以此类推，这样就可以表示为
ans.sum+=(i*p[pos]+x)*temp.cnt;
化简一下：
ans.sum+=i*p[pos]*temp.cnt+temp.sum;
还剩下一个平方和，这个的话需要在纸上化简一下，是个完全平方公式，接着上面的重构的数字来说，平方和就是求这个结果，但直接求肯定不好求，需要化简一下，展开平方后为：
最后别忘了整体乘上cnt就好，那么初始的公式为：
ans.powsum+=(i*i*p[pos]*p[pos]+x*x+2*i*p[pos]*x)*temp.cnt;
把temp.cnt乘进去消掉x：
ans.powsum+=i*i*p[pos]*p[pos]*temp.cnt+temp.powsum+2*i*p[pos]*temp.sum;
这样转移方程就都有了，再说一下为什么temp.cnt与x相遇可以消去吧，因为我们一开始也提到了，temp.sum和temp.powsum指的是从temp中传递上来的结果，就是已经计算完毕的结果，已经乘过cnt了，而x表示的是上一层中关于一个可行数字的总和和平方和，所以这一层的x遇到cnt就可以用上一层的sum和powsum来替换了。
还有一点需要注意，在计算的过程中要实时取模，代码中的具体实现是上述转移方程穿插了无数个mod后的成品，及其难看，所以不用过多在意美观性了。。在计算过程中cnt，sum和powsum都会爆int，所以记得开long long，最后就是输出结果的时候，因为取模的原因，可能solve(b)比solve(a-1)要小，所以记得对负数取模：
(solve(b)-solve(a-1)+mod)%mod
上代码了：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=(1<<21)+100;struct Node
{LL cnt,sum,powsum;//符合条件的个数，截止到目前为止的总和，截止到目前为止的平方和Node(){cnt=sum=powsum=0;}
}dp[20][7][7];//dp[pos][sum%mod][mod]LL b[20];LL p[20];const int mod=1e9+7;Node dfs(int pos,int sum,int sum2,bool limit)
{if(pos==0){Node temp;if(sum%7==0||sum2%7==0)temp.cnt=0;elsetemp.cnt=1;return temp;}if(!limit&&dp[pos][sum][sum2].cnt!=-1)return dp[pos][sum][sum2];int up=limit?b[pos]:9;Node ans;for(int i=0;i<=up;i++){if(i==7)continue;Node temp=dfs(pos-1,(sum+i)%7,(sum2*10+i)%7,limit&&i==b[pos]);ans.cnt=(ans.cnt+temp.cnt)%mod;ans.sum=(ans.sum+(p[pos]*i%mod*temp.cnt%mod)+temp.sum)%mod;ans.powsum=(ans.powsum+i*i*p[pos]%mod*p[pos]%mod*temp.cnt%mod+temp.powsum+2*i*p[pos]%mod*temp.sum%mod)%mod;}if(!limit)dp[pos][sum][sum2]=ans;return ans;
}LL solve(LL n)
{int cnt=0;while(n){b[++cnt]=n%10;n/=10;}return dfs(cnt,0,0,true).powsum;
}int main()
{
// freopen("input.txt","r",stdin);int w;cin>>w;memset(dp,-1,sizeof(dp));p[1]=1;for(int i=2;i<20;i++)p[i]=p[i-1]*10%mod;while(w--){LL a,b;cin>>a>>b;cout<<(solve(b)-solve(a-1)+mod)%mod<<endl;}return 0;
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