概述

中点画线法（Midpoint Line Algorithm）是一种画线（Line Drawing）算法，用来在计算机屏幕上绘制线条。

它的基本思想是从线段的起点和终点出发，按照一定的规则向终点逐步逼近，并在途中以控制变量的方式得出每个像素点的坐标，从而绘制出所需的线条。

具体实现中，中点画线法通过计算线段斜率的变化情况，来分为斜率小于1和大于等于1两种情况，并采用Bresenham的对称性原理，以中点的颜色来控制每个像素点的生长方向，从而获得较高的绘制效率和图像质量表现。

总的来说，中点画线法是一种高效且易于实现的线段绘制算法，也是计算机图形学领域最基本的算法之一。

一、基本思想

当前像素点为 ( x p , y p ) (x_p,y_p) (xp,yp)，下一个像素点为 P 1 P1 P1或 P 2 P2 P2。
设 M = ( x p + 1 , y p + 0.5 ) M=(x_p+1,y_p+0.5) M=(xp+1,yp+0.5)为 P 1 P1 P1与 P 2 P2 P2之中点， Q Q Q为理想直线与 x = x p + 1 x=x_p+1 x=xp+1垂线的交点。将 Q Q Q与 M M M的 y y y坐标进行比较。
当 M M M在 Q Q Q的下方，则 P 2 P2 P2应为下一个像素点；当 M M M在 Q Q Q的上方，则 P 1 P1 P1应为下一个像素点。

二、构造判别式:

d = F ( M ) = F ( x p + 1 , y p + 0.5 ) = a ( x p + 1 ) + b ( y p + 0.5 ) + c d=F(M)=F(x_p+1,y_p+0.5)=a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
其中， a = y 0 − y 1 , b = x 1 − x 0 , c = x 0 y 1 − x 1 y 0 a=y_0-y_1, b=x_1-x_0, c=x_0y_1-x_1y_0 a=y0−y1,b=x1−x0,c=x0y1−x1y0.

当 d < 0 d<0 d<0时， M M M在 L ( Q L(Q L(Q点 ) ) )下方，取右上方 P 2 ( x p + 1 , y p + 1 ) P2(x_p+1,y_p+1) P2(xp+1,yp+1)为下一个像素；
当 d > 0 d>0 d>0时， M M M在 L ( Q L(Q L(Q点 ) ) )上方，取右方 P 1 ( x p + 1 , y p ) P1(x_p+1,y_p) P1(xp+1,yp)为下一个像素；
当 d = 0 d=0 d=0时，选 P 1 P1 P1或 P 2 P2 P2均可，约定取 P 1 ( x p + 1 , y p ) P1(x_p+1,y_p) P1(xp+1,yp)为下一个像素；

三、递推出增量

若当前像素处于：

d ≥ 0 d\geq 0 d≥0情况，则取正右方像素 P 1 ( x p + 1 , y p ) P1(x_p+1, y_p) P1(xp+1,yp)，要判下一个像素位置，应计算
d 1 = F ( x p + 2 , y p + 0.5 ) = a ( x p + 2 ) + b ( y p + 0.5 ) = d + a d1=F(x_p+2, y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)=d+a d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a
增量为 a a a。

d < 0 d<0 d<0时，则取右上方像素 P 2 ( x p + 1 , y p + 1 ) P2(x_p+1, y_p+1) P2(xp+1,yp+1)。要判断再下一像素，则要计算
d 2 = F ( x p + 2 , y p + 1.5 ) = a ( x p + 2 ) + b ( y p + 1.5 ) + c = d + a + b d2= F(x_p+2, y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b
增量为 a + b a+b a+b。

优化：

由于画线从 ( x 0 , y 0 (x_0, y_0 (x0,y0)开始， d d d的初值为：
d 0 = F ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) = F ( x 0 , y 0 ) + a + 0.5 b = a + 0.5 b d_0=F(x_0+1, y_0+0.5)=F(x_0, y_0)+a+0.5b=a+0.5b d0=F(x0+1,y0+0.5)=F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5b
可以用 2 d 2d 2d代替 d d d来避免小数，提高效率。令 d 0 = 2 a + b , d 1 = 2 a , d 2 = 2 a + 2 b d_0=2a+b, d_1=2a, d_2=2a+2b d0=2a+b,d1=2a,d2=2a+2b。

总结：

如果 d > 0 d > 0 d>0，则中点 ( x , y m ) (x_, y_m) (x,ym)在 L ( Q ) L(Q) L(Q)的上方，此时应该取右边的像素点 P 1 ( x p + 1 , y p ) P1(x_p+1,y_p) P1(xp+1,yp)，即 x x x加1、 y y y不变。此时， d d d的值增加 d 1 d1 d1，即 d = d + d 1 d=d+d1 d=d+d1。

如果 d < 0 d<0 d<0，则中点 ( x m , y m ) (x_m, y_m) (xm,ym)在 L ( Q ) L(Q) L(Q)的下方，应该取右上方的像素点 P 2 ( x p + 1 , y p + 1 ) P2(x_p+1,y_p+1) P2(xp+1,yp+1)，即 x x x和 y y y均加1。此时， d d d的值增加 d 2 d2 d2，即 d = d + d 2 d=d+d2 d=d+d2。

四、例题分析

以P0（0,0）到P1（5,2）为例，使用中点画线法，计算 d 0 d_0 d0， d 1 d_1 d1和 d 2 d_2 d2，并画出对应表格。

首先，根据两点坐标求出 a a a、 b b b、 c c c的值，有：
a = y 0 − y 1 = − 2 a=y_0-y_1=-2 a=y0−y1=−2
b = x 1 − x 0 = 5 b=x_1-x_0=5 b=x1−x0=5
c = x 0 y 1 − x 1 y 0 = − 10 c=x_0y_1-x_1y_0=-10 c=x0y1−x1y0=−10

接着，根据公式得到 d 0 d_0 d0， d 1 d_1 d1和 d 2 d_2 d2的初值，有：
d 0 = 2 a + b = 1 d_0 = 2a+b = 1 d0=2a+b=1
d 1 = 2 a = − 4 d_1 = 2a = -4 d1=2a=−4
d 2 = 2 a + 2 b = 6 d_2 = 2a+2b = 6 d2=2a+2b=6

然后，根据中点画线法的算法流程结合总结，可以按照如下表格计算每个像素点的坐标 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)以及 d i d_i di的变化：

count	x	y	d	P
0	0	0	1	P0
1	1	0	-3
2	2	1	3
3	3	1	-1
4	4	2	5
5	5	2	1	P1

其中， P P P表示像素点位置， c o u n t count count表示计数， d d d表示中点到直线距离的判别式值（经过放大2倍），根据 d > 0 d>0 d>0还是 d < 0 d < 0 d<0判断所选的下一个像素点。对于 d = 0 d=0 d=0，约定选择右下方的像素点。

最终，依照算法，连线的轨迹如下：

P0 (0, 0) -> (1, 1) -> (2, 1) -> (3, 2) -> (4, 2) -> P1 (5, 2)

如下图：

五、伪代码

/* mid PointLine */
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color){   int a, b, d1, d2, d, x, y;a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b;d1=2*a, d2=2* (a+b);x=x0, y=y0;drawpixel(x, y, color);while (x<x1){ if (d<0)       {x++, y++, d+=d2; }else       {x++, d+=d1;}drawpixel (x, y, color);}  /* while */}

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