具体数学递归问题1.1 从河内塔/汉诺塔开始

河内塔问题

在经典河内塔问题中，有3根柱子和N个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按从大到小依次套在一根柱子上，现在想将所有的圆盘按照原来的位置从一根柱子移动到另一根柱子上，移动过程需要遵守一些规则：
1.每次只能移动一个盘子
2.盘子只能从柱子顶端滑出移动到下一根柱子
3.盘子只能叠在没有盘子的柱子或者比它大的盘子上

聚焦河内塔问题。河内塔的规则，限定了较大的圆盘要先转移到目标柱子（选择的任意一根柱子）上，这时直接转移是不可行的，一定要利用其他柱子。问题中只有3根柱子，所以，另外一个柱子一定是要将N-1个圆盘按照从大到小堆起，（这个柱子我们叫它cache peg，存放柱），这才使得最大圆盘可以直接从原来位置转移到目标位置。
并且，这种方案最优。因为在这个问题下，最大圆盘转移到目标柱子仅用一次是最少且必须的。
抽象一下算法，解决N个圆盘的移动，记TnT_{n}Tn：
（这里会用到记号，a small tips for algorithm to solve the questions）

将最上面的N-1个圆盘移动到cache peg，记为Tn−1T_{n-1}Tn−1
可以拿出最大的圆盘，且仅能将圆盘从原柱子移动到目标柱子
将在cache peg上的N-1个圆盘最终都移动到目标柱子上，也是Tn−1T_{n-1}Tn−1了

分解成具体步骤后，可以发现移动的规律，TnT_{n}Tn被分解成2*Tn−1T_{n-1}Tn−1+1次移动了。河内塔问题完全是利用子问题解决原问题的策略，可以解决的数学问题。

这种通过子问题解决原问题，不断地向前推进，找到最小子问题的解，再回溯计算原问题的方法，被定义成递归，用递归解决问题的被定义为递归问题。

河内塔问题可以轻松利用递归解决，时间复杂度是O(2n2^n2n)。

回到数学

接下来用数学角度去看河内塔问题，旨在给出一种数学手段，解释一般递归问题有关时间复杂度的计算。读者可以酌情阅读，不影响对河内塔问题的理解。

河内塔问题是经典的N个圆盘移动的递归问题。因为三柱河内塔的TnT_{n}Tn最少移动数是：Tn=2∗Tn−1+1（n>0）T_{n}=2*T_{n-1}+1（n>0）Tn=2∗Tn−1+1（n>0）

我们可以直接利用递归解决河内塔问题，但递归仅能表明TnT_{n}Tn和Tn−1T_{n-1}Tn−1之间的关联，如果要计算时间复杂度、空间复杂度时，纯观察一般很难得出正确的结论。

就如河内塔问题，很难通过观察递归实现得出O(2n2^n2n)的时间复杂度的解。

但数学给了一种直观且有效的解决递归问题的策略，并把问题总结成计算N个规模的递归式。

在数学角度，当你有了转移方程（转移方程指河内塔的Tn=2∗Tn−1+1（n>0）T_{n}=2*T_{n-1}+1（n>0）Tn=2∗Tn−1+1（n>0）），求解河内塔最少移动数的数学表达，即递归式，一般都会联想到一种数学证明方法。

这和等差/等分数列问题的解题思路一致。

对于这种手段解决问题，高中数学便已经有介绍并清楚的定义——数学归纳法

数学归纳法是证明某个命题对所有满足n≥n0n_0n0的整数n都成立的一种方法。

（1）研究小规模的情况。如n=1，2，3的最后结果，观察结果寻找规律
（2）假设从n=n0n_0n0到n=k都满足你找到的规律，将注意力放在n=k和n=k-1上，验证规律的正确性

再看河内塔问题，可以通过小的样本发现TnT_nTn的递归式，Tn=2n−1T_n=2^n-1Tn=2n−1
然后验证递归式的正确性，当n=k时，Tk=2∗Tk−1+1T_k=2*T_{k-1}+1Tk=2∗Tk−1+12k−1=2∗(2k−1−1)+12^k-1=2*(2^{k-1}-1)+12k−1=2∗(2k−1−1)+1同时左右式加1：2k=2∗(2k−1−1)+22^k=2*(2^{k-1}-1)+22k=2∗(2k−1−1)+2左右式相等，即递归式是2n−12^n-12n−1

河内塔的最小移动数是2n−12^n-12n−1，与N个规模的圆盘成正比。时间复杂度即O(2n2^n2n-1)，也是O(2n2^n2n)。

当你遇到递归问题，尝试用数学归纳法帮助你完成很多工作。

河内塔问题的实现

至此，具体数学对河内塔问题的理解白话结束。透过河内塔问题，寻找到一般递归问题的解题思路，并对递归问题的复杂度计算给出一种数学解释。当面临递归问题时，可以帮助读者更全面的思考。

现在，我们会根据前面的算法，实现对河内塔问题的解答，这并不需要太多代码，代码的工作会尽可能保持clean coding的风格。

C++实现如下：

#include<vector>
#include<iostream>void move(std::vector<int>& A,std::vector<int>& B,std::vector<int>& C,int n){if(0==n)return;//移动N-1个圆盘move(A,C,B,n-1);//将圆盘的第N个直接转移到目标柱C.push_back(A.back());A.pop_back();//将cache peg的N-1个圆盘移动到Cmove(B,A,C,n-1);}/*
* A peg:原柱
* B peg:cache peg 存放柱
* C peg:目标柱
*/
void hanota(std::vector<int>& A,std::vector<int>& B,std::vector<int>& C){//目标是移动所有的A，到达Cint n=A.size();//移动原柱的N个圆盘到目标柱上move(A,B,C,n);
}void traverse(std::vector<int>& peg,const char* info){std::cout<<info<<std::endl;for(int plant:peg){std::cout<<plant<<",";}std::cout<<std::endl;
}int main(int argc,char* argv[]){//顺序不变的移动A到C,移动过程中。顺序保证降序std::vector<int> A{10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};std::vector<int> B;std::vector<int> C;hanota(A,B,C);//验证结果traverse(A,"A");traverse(B,"B");traverse(C,"C");std::cin.get();
}

河内塔问题的运行结果

小结

三柱河内塔问题从算法的角度是一个经典的递归问题。相信你认真读完这一则文章，对加深递归问题的印象会有很大的帮助。

递归问题实际上就是一个完整的全局问题可以被分解成若干个嵌套的局部问题，局部问题是只关注原问题（大规模）和子问题（小规模）的联系，每一个原问题和子问题的算法结构相同。

对递归不熟悉的帮转：递归

下一篇文章，我们在河内塔问题的基础上讨论四柱或多柱河内塔问题，它是河内塔问题的泛化，算法也不仅仅是简单的递归，还会涉及到择优，最优选择等。它将进一步加深读者对原问题和子问题的理解，也会对问题的算法逻辑有更高层次的掌握。

掌握数学，是掌握算法的一把钥匙。当你掌握算法，你便能创造你的世界。

参考资料：

Ronald L. Graham，Donald E. Knuth，Oren Patashnik，“具体数学”，张明尧，张凡译，人民邮电出版社