举例求解矩阵的特征值和特征向量

（先明确：只有方阵才能求出特征值，非方阵只能求奇异值。）
  直接举一个例子：求下面矩阵M的特征值和特征向量。
M=[460−3−50−3−61]M =\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix} M=⎣⎡4−3−36−5−6001⎦⎤
  设矩阵M的特征值为λ\lambdaλ,列出矩阵M的特征方程：矩阵M减去，λ\lambdaλ乘以和M同等大小的单位矩阵E。再让它们整体的行列式的值等于0即可。如下所示：
∣M−λE∣=0(1)|M - \lambda E| = 0\tag{1}∣M−λE∣=0(1)
  求解(1)式的步骤如下：
∣M−λE∣=[4−λ60−3−5−λ0−3−61−λ]=(1−λ)[4−λ6−3−5−λ]=(λ−1)2(λ+2)|M - \lambda E| = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 & 0 \\ -3 & -5-\lambda & 0 \\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda) \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 \\ -3 & -5-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda -1)^{2}(\lambda + 2)∣M−λE∣=⎣⎡4−λ−3−36−5−λ−6001−λ⎦⎤=(1−λ)[4−λ−36−5−λ]=(λ−1)2(λ+2)
  所以特征值为1和-2，重数是1。
  然后，把每个特征值λ\lambdaλ带入到下方的线性方程组(M−λE)x=0(M - \lambda E)x = 0(M−λE)x=0，求出特征向量。

当λ1=−2\lambda_{1}=-2λ1=−2时，解线性方程组：(M−(−2)E)x=0(M - (-2)E)x = 0(M−(−2)E)x=0。
∣M+2E∣=[660−3−30−3−63]⇒先变成增广矩阵[6600−3−300−3−630]⇒再初等行变换[110000000−110]|M + 2E| = \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -3 & -3 & 0 \\ -3 & -6 & 3 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -3 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 3 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} ∣M+2E∣=⎣⎡6−3−36−3−6003⎦⎤先变成增广矩阵⎣⎡6−3−36−3−6003000⎦⎤再初等行变换⎣⎡10010−1001000⎦⎤
所以，x1+x2=0;−x2+x3=0x_{1}+x_{2}=0; -x_{2}+x_{3}=0x1+x2=0;−x2+x3=0。随便带一个值，一般取x3=1x_{3}=1x3=1，可解得x2=1，x1=−1。x_{2}=1，x_{1}=-1。x2=1，x1=−1。
解得：x1=−1，x2=1，x3=1x_{1}=-1，x_{2}=1，x_{3}=1x1=−1，x2=1，x3=1，所以λ1\lambda_{1}λ1的特征向量为：p1=[−111]。p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}。p1=⎣⎡−111⎦⎤。

当λ2=λ3=1\lambda_{2}=\lambda_{3}=1λ2=λ3=1时，解线性方程组：(M−E)x=0(M - E)x = 0(M−E)x=0。
∣M−E∣=[360−3−60−3−60]⇒先变成增广矩阵[3600−3−600−3−600]⇒再初等行变换[120000000000]|M - E| = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ∣M−E∣=⎣⎡3−3−36−6−6000⎦⎤先变成增广矩阵⎣⎡3−3−36−6−6000000⎦⎤再初等行变换⎣⎡100200000000⎦⎤
所以，x1+2x2=0;x3=0x_{1}+2x_{2}=0; x_{3}=0x1+2x2=0;x3=0。随便带一个值，这里取x1=−2x_{1}=-2x1=−2，可解得x2=1。x_{2}=1。x2=1。
解得：x1=−2，x2=1，x3=0x_{1}=-2，x_{2}=1，x_{3}=0x1=−2，x2=1，x3=0，所以λ2\lambda_{2}λ2特征向量为：p2=[−210]。p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}。p2=⎣⎡−210⎦⎤。
再取，x1=x2=0，x3=1x_{1}=x_{2}=0，x_{3}=1x1=x2=0，x3=1，可解得λ3\lambda_{3}λ3的特征向量为：p3=[001]。p_{3} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}。p3=⎣⎡001⎦⎤。

综上所述：矩阵M的特征值为λ1=−2，λ2=λ3=1\lambda_{1}=-2，\lambda_{2}=\lambda_{3}=1λ1=−2，λ2=λ3=1。对应的特征向量为：p1=[−111]p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}p1=⎣⎡−111⎦⎤、p2=[−210]、p3=[001]p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}、p_{3} =\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}p2=⎣⎡−210⎦⎤、p3=⎣⎡001⎦⎤。

如何再继续进行矩阵的特征分解呢？

接下来进行矩阵的特征分解，上面已经求出了矩阵M的特征值和特征向量了，下面就非常简单了。
设矩阵Q为矩阵M的特征向量按列组成的矩阵。将特征向量按照从大到小、从左到右按列排列构成Q。 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值。(按照刚才特征向量的位置，把对应特征值从上往下排列)如下所示：
Q=[−20−1101011]，Λ=[10001000−2]。Q= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} ，Λ= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} 。 Q=⎣⎡−210001−111⎦⎤，Λ=⎣⎡10001000−2⎦⎤。
所以最后，方阵M的特征值分解为：
M=QΛQ−1=[−20−1101011][10001000−2][−20−1101011]−1M=QΛQ^{-1}= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}^{-1} M=QΛQ−1=⎣⎡−210001−111⎦⎤⎣⎡10001000−2⎦⎤⎣⎡−210001−111⎦⎤−1

最后注意:
能够进行特征分解的矩阵，要满足以下两个条件：
1.如果矩阵的所有特征根都不相等，那么绝对可以特征分解。
2.如果矩阵有等根,只需等根（重特征值）对应的那几个特征向量，是线性无关的。那么也可以特征分解。如果不是就不能了。
综合说：就是要有n个线性无关的特征向量。

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