二次函数的另类作用：

用二次函数研究三次多项式函数的零点问题，可以看成二次函数的又一个大作用。

设三次多项式函数\(F(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a>0)\)，其导函数为二次函数\(F'(x)=3ax^2+2bx+c\)，导函数的判别式标记为\(\Delta\)，

1、若\(\Delta\leq 0\)，则\(F'(x)\ge0\)恒成立，所以\(F(x)\)在\(R\)上单调递增，有一个零点；

引申：若\(\Delta > 0\)，则\(F'(x)\ge0\)不恒成立，所以\(F(x)\)在\(R\)上不是单调递增。

2、若\(\Delta > 0\)，令\(y=F'(x)\)的两个零点分别\(m、n\)，

则\(F(x)\)在区间\((-∞，m]\)单增，在区间\([m,n]\)单减，在区间\([n,+∞)\)单增，

此时函数\(F(x)\)有极大值\(F(m)\)，有极小值\(F(n)\)，

我们结合导函数图像，可以作出原函数的草图，

• 若\(F(m)>0，F(n)>0，\)则 \(F(x)\)有一个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)=0，F(n)<0，\)则 \(F(x)\)有两个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)<0，F(n)<0，\)则 \(F(x)\)有一个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)<0，F(n)>0，\)则 \(F(x)\)有三个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)>0，F(n)=0，\)则 \(F(x)\)有两个零点，有两个极值点。

\(\fbox{例1}\)【2014高考新课标Ⅰ卷理科，第11题】已知函数\(f(x)=ax^3-3x^2+1\)，若函数\(f(x)\)存在唯一零点 \(x_0\)，且\(x_0>0\)，则\(a\)的取值范围是【C】

法1：由于函数\(f(x)\)存在唯一零点 \(x_0\)，且\(x_0>0\)，

则方程\(f(x)=0\)有唯一的正实数解，即\(ax^3-3x^2+1=0\)有唯一的正实数解，

即方程\(a=\cfrac{3x^2-1}{x^3}\)有唯一的正实数解，

即函数\(y=a\)和函数\(y=h(x)=\cfrac{3x^2-1}{x^3}=\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{x^3}(x>0)\)有唯一的交点，

其余思路待补充。

法2：先将题目转化为，方程\(ax^3=3x^2-1\)有唯一的正实数解，

则静态函数\(y=3x^2-1\)和动态函数\(y=ax^3\)只能在区间\((0 ，+\infty)\)上有交点，

此处需要我们知道函数\(y=ax^3\)的参变数\(a\)的作用，

由图像可知，当\(a\leq 0\)时，都不满足题意，故需要\(a<0\)，

但当\(a\)取很小的负值时，显然满足题意，当\(a\)为某一个恰当的负值时，两个曲线在\(x<0\)时可能相切，

当然，此处你可能还会认为是有相切，还有相交，这不要紧，我们通过下述的计算就能回答这个疑惑。

设切点坐标为\(P(x_0，y_0)\)，则有\(x_0<0\)，

则有\(\left\{\begin{array}{l}{3ax_0^2=6x_0}\\{y_0=ax_0^3}\\{y_0=3x_0^2-1}\end{array}\right.\)

解得\(x_0=-1\)，\(y_0=2\)，将切点\(P(-1，2)\)代入\(y=ax^3\)，解得\(a=-2\)，

故当\(a<-2\)时，两条曲线在\(x<0\)上没有交点，只在\(x>0\)上有交点，故满足题意，

即\(a\)的取值范围时\((-\infty，-2)\)，故选\(C\)。

法3：利用导数方法，同时注意题目的隐含条件，\(f(0)=1\)，

\(f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)\)，

①当\(a=0\)时，原函数为\(y=-3x^2+1\)，有两个零点，不符合题意，舍去。

②当\(a>0\)时，由导函数的图像可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)上单调递增，在区间\((0，\cfrac{2}{a})\)上单调递减，在区间\((\cfrac{2}{a}，+\infty)\)上单调递增，

此时函数在区间\((-\infty，0)\)上必有一个零点，不符合题意，舍去。

③当\(a<0\)时，由导函数的图像可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，\cfrac{2}{a})\)上单调递减，在区间\((\cfrac{2}{a}，0)\)上单调递增，在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，

此时只需要函数\(f(x)\)的极小值大于零即可，即\(f(\cfrac{2}{a})>0\)，

即\(a\cdot (\cfrac{2}{a})^3-3\cdot (\cfrac{2}{a})^2+1>0\)，化简得到\(a^2>4\)，

解得\(a<-2\)或\(a>2\)，又\(a<0\)，故\(a<-2\)。

即\(a\)的取值范围时\((-\infty，-2)\)，故选\(C\)。