Python中的np.random.binomial()二项式分布函数详解

看了很多博客，感觉很多人对np.random.binomial()的解释都写得不是很清楚，或者写错了，特别是对该函数的参数解释。本文以二项式分布的理论概念为起点，对该函数进行解释，欢迎讨论指正。

二项式分布

二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次（注意：这里的n和binomial()函数参数n不是一个意思）独立的伯努利试验，如果事件X服从二项式分布，则可以表示为X~B(n,p)，则期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。简单来讲就是在每次试验中只有两种可能的结果（例如：抛一枚硬币，不是正面就是反面，而掷六面体色子就不是二项式分布），而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。

函数原型及参数：numpy.random.binomial(n,p,size=None)

官方参数的解释如下：

参数	解释
n	int型或者一个int型的数组，大于等于0，接受浮点数但是会被截断（官方解释：n is truncated to an integer，例如：输入4.6或者4.2都会被当做4来计算）成整数来使用。
p	float或者一组float的数组，0≤p≤1；
size	可选项，int或者int的元组，表示的输出的大小，如果提供了size，例如(m,n,k)，那么会返回m×n×k个数值。如果size=None，也就是默认没有的情况，当n和p都是一个数字的时候只会返回一个值，否则返回的是np.broadcast(n,p).size个数值。
reture	返回值。size是一个整数N时，返回一个长度为N的一维数组；size是（X，Y）类型元组时，返回一个X行Y列二维数组；size是（X，Y，Z）类型元组时，返回一个三维数组（三维数组不能以三维形式直接输出，会输出X个Y行Z列的二维数组，以此类推）。

官方解释中只规定了参数的类型和范围，但是并没有给出具体的数学意义，不便于理解。现在对逐个参数进行解释：

参数n：一次试验的样本数n，并且相互不干扰。 有些博客解释这里的参数n是试验次数，我认为不对，或许现在看起来好像一次试验n个互不相干的样本和n次试验一个样本是一样的，但是如果把n理解为试验次数，那和size参数的意义会产生冲突；

参数p：事件发生的概率p，范围[0,1]。这里有个理解的关键就是 “事件发生”到底是指的什么事件发生？准确来讲是指：如果一个样本发生的结果要么是A要么是B，事件发生指的是该样本其中一种结果发生。

参数size：限定了返回值的形式（具体见上面return的解释）和实验次数。当size是整数N时，表示实验N次，返回每次实验中事件发生的次数；size是（X，Y）时，表示实验X*Y次，以X行Y列的形式输出每次试验中事件发生的次数。（如果将n解释为试验次数而不是样本数的话，这里返回数组中数值的意义将很难解释）。

return返回值 ：以size给定的形式，返回每次试验事件发生的次数，次数大于等于0且小于等于参数n。注意：每次返回的结果具有随机性，因为二项式分布本身就是随机试验。

给出几个例子：

例1： n=1时，重复伯努利试验。
一次抛一枚硬币试验，正面朝上发生的概率为0.5，做10次实验，求每次试验发生正面朝上的硬币个数：

test = np.random.binomial(1, 0.5, 10)
print(test)

输出：[1 1 1 0 1 1 1 0 0 0]

例2： n>1时，多个样本进行试验：
一次抛5枚硬币，每枚硬币正面朝上概率为0.5，做10次试验，求每次试验发生正面朝上的硬币个数：

test = np.random.binomial(5, 0.5, 10)
print(test)

输出：[1 5 5 2 4 2 3 3 2 3]

例3： size为元组的形式时：
一次抛5枚硬币，每硬币正面朝上概率为0.5，做50次试验，求每次试验发生正面朝上的硬币个数：

test = np.random.binomial(5, 0.5, (10, 5))
print(test)

输出二维数组（ndarray类型）：

[[1 2 2 4 1][2 5 3 4 3][1 4 1 2 4][3 1 1 3 1][1 4 2 4 2][0 1 3 2 2][4 2 1 1 2][2 5 3 2 3][1 1 2 2 2][3 2 1 4 2]]

例4： 一次抛2个硬币，每枚硬币抛到正反两面的概率都是0.5，那么两个硬币都是正面的概率是多少？发生一正一反的概率是多少？
显然答案是0.25和0.5，试验次数越大，越能接近理论概率：

test = sum(np.random.binomial(2, 0.5, 100000) == 2) / 100000
print(test)

输出：0.24843

test = sum(np.random.binomial(2, 0.5, 100000) == 1) / 100000
print(test)

输出：0.49938