前言

关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导：

• 其一，看能不能从数的角度突破，如果可以就通过解不等式得到单调区间；

• 其二，如果不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析，做出导函数的图像或其部分图像，从而得到单调区间；

• 其三，如果以上都行不通，不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负，从而知道单调性。

一、储备待用

①常见的初等函数的动态图像，需要理解掌握。

• \(f(x)=e^x+a\)；\(f(x)=(x+1)(x+m)\)；\(f(x)=ln(x+a)\)；\(f(x)=x^2+a\)；\(g(x)=a\cdot x^2\)；

②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释：

说明：我们假定某一个函数的导函数为\(f‘(x)=e^x(x-1)(x-2)\)，则\(f’(x)=e^x(x-1)(x-2)\)的图像和\(y=(x-1)(x-2)\)的图像在解释单调性上是一样的，故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数\(y=(x-1)(x-2)\)的图像来解决问题。

③求导法则和常用求导公式，复合函数的求导法则；

④用图读图能力；

⑤整体部分理论；

⑥分类讨论的技巧；先简单后复杂；

二、用导函数的图像判断原函数的单调性

例1已知函数\(f(x)=2x^3+ax^2+bx+1\)的导函数为\(f'(x)\)，若函数\(y=f'(x)\)的对称轴是\(x=-\cfrac{1}{2}\)，且\(f'(1)=0\)

(1).求\(a，b\)的值。

(2).判断函数的单调性，并求函数的极值。

【分析】(1)通过导函数方程和二次函数对称轴方程建立方程组，即可解得a、b，

(2)数字系数的三次多项式函数求极值，用常规的思路和步骤求解即可。

【解答】(1)由于\(f'(x)=6x^2+2ax+b\)，且对称轴为\(x=-\cfrac{1}{2}\)，

则有\(-\cfrac{a}{6}=-\cfrac{1}{2}\)，则\(a=3\)，

又由于\(f'(1)=0\)，则\(6+2a+b=0\)，解得\(b=-12\)，

所以\(a=3，b=-12\)。

(2)因为\(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1\)，\(f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)\)

常规的解法这样写道：

令\(f'(x)>0\)，即\(x^2+x-2>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-2\)，

令\(f'(x) <0\)，即\(x^2+x-2 <0\)，解得$ -2<x<1$，

有了辅助图像后，我们这些写：

当\(x< -2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(-2<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；

当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

然后做总结：

所以函数\(f(x)\)在\((-2，1)\)上单调递减，在\((-\infty，-2)\)和\((1，+\infty)\)上单调递增，

当\(x=-2\)时，\(f(x)\)取得极大值，为\(f(-2)=21\)，

当\(x=1\)时，\(f(x)\)取得极小值，为\(f(1)=-6\)。

三、用导函数的分子图像判断原函数的单调性

例2已知函数\(f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2\)．（Ⅱ）当\(m＞0\)时，试讨论函数\(f(x)\)的单调性；

【分析】（Ⅱ）借助导函数的分子函数的动态图像，即可判断导函数的正负，从而判断原函数的单调性。

【解答】辅助图像

（Ⅱ）\(f'(x)=2x+\cfrac{2m}{x}-(m+4)=\cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=\cfrac{(x-2)(2x-m)}{x}\)，

令\(f'(x)=0\)，得到\(x=2\)或\(x=\cfrac{m}{2}>0\)，只需要借助分子函数的图像，即可判断导函数的正负，

当\(0<\cfrac{m}{2}<2\)时，即\(0<m<4\)时， \(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

当\(\cfrac{m}{2}=2\)时，即\(m=4\)时，此时\(f'(x)\ge 0\)恒成立，

当且仅当\(x=2\)时取得等号，故\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，

当\(\cfrac{m}{2}>2\)时，即\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减， \(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

综上所述，

当\(0<m<4\)时， \(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增，

当\(m=4\)时，\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，

当\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增，

四、用导函数中的一部分函数图像判断原函数的单调性

例3已知函数\(f(x)=x^2+(m+2)x+1(m为常数)\)，讨论函数\(g(x)=e^xf(x)\)的单调性；

【分析】求导后借助导函数的部分函数\(y=(x+1)(x+m+3)\)的图像，

利用两根的大小关系分类讨论，可以轻松判断其单调性；

【解答】\(g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1]\)，定义域为\(R\)，

则\(g'(x)=e^x\cdot [x^2+(m+2)x+1]+e^x\cdot (2x+m+2)\)

\(=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)]\)

令\(g'(x)=0\)，得到\(x=-1\)或\(x=-(m+3)\)，由于\(e^x>0\)恒成立，

故借助开口向上的二次函数\(y=(x+1)[x+(m+3)]\)的图像求解如下：

①当\(-(m+3)<-1\)时，即\(m>-2\)时，

\(x\in (-\infty，-m-3)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

\(x\in (-m-3，-1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (-1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

②当\(-(m+3)=-1\)时，即\(m=-2\)时，\(g'(x)\ge 0\)恒成立，

当且仅当\(x=-1\)时取得等号，故\(g(x)\)在R上单调递增；

③当\(-(m+3)>-1\)时，即\(m<-2\)时，

\(x\in (-\infty，-1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

\(x\in (-1，-m-3)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (-m-3，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

综上所述：

当\(m<-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-1)\)和\((-m-3，+\infty)\)，单减区间为$ (-1，-m-3)$;

当\(m=-2\)时，函数\(g(x)\)只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；

当\(m>-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-m-3)\)和\((-1，+\infty)\)，单减区间为$ (-m-3，-1)$;

五、用导函数的几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负

例4已知函数\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)．讨论\(f(x)\)的单调性．

【分析】利用导函数分解因式后的两个因式函数的图像和符号法则判断导函数的正负，

从而判断原函数的单调性。

【解答】定义域为\(R\)，\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)\)，

在同一个坐标系中做出函数\(y=x-1\)(定图)和函数\(y=e^x+2a\)(动图)的图像，

根据动图\(y=e^x+2a\)是否与\(x\)轴有交点分类讨论如下：

①当\(2a\ge 0\)时，即\(a\ge 0\)时，恒有\(e^x+2a>0\)，

当\(x\in (-\infty，1)\)上时，\(x-1<0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0\)，故\(f(x)\)单调递减，

当\(x\in (1，+\infty)\)上时，\(x-1>0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0\)，故\(f(x)\)单调递增，

当\(2a<0\)时，即\(a<0\)时，\(y=e^x+2a\)与\(x\)轴有交点，令\(e^x+2a=0\)，解得\(x=ln(-2a)\)，

然后针对\(ln(-2a)\)与\(1\)的大小关系继续细分如下

②当\(ln(-2a)<1\)时，即\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，

当\(x\in(-\infty，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(x\in(ln(-2a)，1)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；

当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

③当\(ln(-2a)=1\)时，即\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，

当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

即\(x\in (-\infty，+\infty)\)时，恒有\(f'(x)\ge 0\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号，故\(f(x)\)单调递增；

④当\(ln(-2a)>1\)时，即\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，

当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(x\in(1，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；

当\(x\in(ln(-2a)，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

综上所述，

当\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，单增区间为\((-\infty，1)\)和\((ln(-2a)，+\infty)\)，单减区间为\((1，ln(-2a))\)；

当\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；

当\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，单增区间为\((-\infty，ln(-2a))\)和\((1，+\infty)\)，单减区间为\((ln(-2a)，1)\)；

当\(a\ge 0\)时，单减区间为\((-\infty，1)\)，单增区间为\((1，+\infty)\)；

【点评】由于教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，

故许多学生碰到这个题目时思路会受阻，需要老师做引导，如果从数的角度不能突破，可以考虑从形的角度入手分析。

六、特殊的导函数寻找分界点判断导函数的正负

• 所谓特殊的导函数，是指含有\(e^x\)或者函数\(lnx\)的导函数。

例5已知函数\(f(x)=e^x-ax-1(a∈R)\)，\(g(x)=lnx\)．若不等式\(f(x)\ge g(x)\)对任意的\(x\in (0，+\infty)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；

【解答】由题目可知，\(e^x-ax-1\ge lnx\)对任意的\(x∈(0，+\infty)\)恒成立，

分离参数得到，\(a\leq \cfrac{e^x-1-lnx}{x}(x>0)\)；

令\(h(x)= \cfrac{e^x-1-lnx}{x}\)，需要求\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{x})\cdot x-(e^x-1-lnx)\cdot 1}{x^2}\)

\(=\cfrac{xe^x-1-e^x+1+lnx}{x^2}\)

\(=\cfrac{(x-1)e^x+lnx}{x^2}\)

观察分子的结构，可以发现两部分\((x-1)e^x\)和\(lnx\)的零点都是\(x=1\)，故有

当\(x\in(0，1)\)时，\(x-1<0\)，\(lnx<0\)，则\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；

当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(x-1>0\)，\(lnx>0\)，则\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增；

故\(h(x)_{min}=h(1)=e-1\)，

即\(a\leq e-1\).

例5-2【2019高三理科数学信息题】已知函数\(f(x)=x^2lnx+1-kx\)存在零点，则\(k\)的取值范围为【】

分析：已知函数\(f(x)=x^2lnx+1-kx\)存在零点，即方程\(f(x)=0\)在定义域\((0，+\infty)\)上有解，

分离参数得到\(k=\cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+\cfrac{1}{x}\)，令\(h(x)=xlnx+\cfrac{1}{x}\)，

则题目转化为\(k=h(x)\)在\((0，+\infty)\)上有解，故要么从数的角度求函数\(h(x)\)的值域；要么求其单调性，做函数的图像，从形的角度用数形结合求解。

以下用导数求函数\(h(x)\)的单调性。\(h'(x)=lnx+1-\cfrac{1}{x^2}\)，

此时需要注意，导函数中出现了\(lnx\)，故我们将上述的函数人为的分为两个部分，\(y=lnx\)和\(y=1-\cfrac{1}{x^2}\)，先令\(lnx=0\)得到\(x=1\)，在将\(x=1\)代入\(y=1-\cfrac{1}{x^2}\)验证也是其零点，说明这两个函数的零点重合，故接下来我们将定义域分为\((0，1)\)和\((1，+\infty)\)两部分分类讨论即可：

则\(0<x<1\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，\(x>1\)时，\(h'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，则\(h(x)_{min}=h(1)=1\)。

即\(h(x)\)的值域为\([1，+\infty)\)，故\(k\ge 1\)，即\(k\in [1，+\infty)\)。故选\(B\)

或利用单调性得到函数\(h(x)\)的图像如下，

再利用函数\(y=k\)和函数\(y=h(x)\)的图像有交点，得到\(k\)的取值范围为\(k\in [1，+\infty)\)。故选\(B\)

例5-3【2018河南郑州一模】若对于任意的正整数\(x\)，\(y\)都有\((2x-\cfrac{y}{e})\cdot \cfrac{y}{x}\leq \cfrac{x}{me}\)成立，则实数\(m\)的取值范围是【】

分析：先将给定的式子通分变形为\(\cfrac{2ex-y}{e}\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{x}{me}\)，再次变形为\((2e-\cfrac{y}{x})\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{1}{m}\)，

令\(\cfrac{y}{x}=t>0\)，则不等式变形为\((2e-t)\cdot lnt\leq \cfrac{1}{m}\)，令\(h(t)=(2e-t)\cdot lnt\)，则需要求\(h(t)_{max}\)；

\(h'(x)=(-1)lnt+(2e-t)\cdot \cfrac{1}{t}=\cfrac{-t(lnt+1)+2e}{t}\)，先用观察法或经验找到导函数的分子的零点\(t=e\)，

当\(t\in (0，e)\)时，\(h'(t)>0\)，\(h(t)\)单调递增，当\(t\in (e，+\infty)\)时，\(h'(t)<0\)，\(h(t)\)单调递减，

故\(h(t)_{max}=h(e)=e\)，即\(\cfrac{1}{m}\ge e\)，解得\(0<m\leq \cfrac{1}{e}\)；故选\(D\)。

七、用二阶导判断一阶导的正负

例6设函数\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)\)．若\(a=1\)，证明：当\(x＞0\)时，\(f(x)＜e^x-1\)．

【分析】先转化为恒成立求最大值问题，先求一阶导，此时不好判断其正负，再求二阶导，

由二阶导的正负判断一阶导的增减性，进而知道一阶导的正负，从而知道原函数的单调性。

【解答】当\(a=1\)时，\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)\)，欲证明\(x >0\) 时，\(f(x)<e^x-1\)，

即证明\(x>0\)时，\(\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0\)恒成立。

令\(g(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1\)，

则原题目转化为证明：求证\(g(x)_{max}<0\)即可。

\(g'(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x\)，

到此尝试思考：

• 能从数的角度解不等式，找到单调区间吗？

• 能从形的角度做出图像，找到单调区间吗？

如果以上两个思路都不行，我们怎么办？

令\(h(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x\)，

则\(h'(x)=1-e^x-\cfrac{1}{(1+x)^2}\)，当\(x>0\)时，\(h'(x)<0\)恒成立，

故函数\(g'(x)\)单调递减，则有\(g'(x)<g'(0)=0\)，即有\(x >0\)时，\(g'(x)<0\)恒成立，

则\(x>0\)时，函数\(g(x)\)单调递减，即有\(g(x)<g(0)=0\)恒成立，

即证明了\(x>0\)时，\(f(x)<e^x-1\)。

【解后反思】①用导数证明不等式时，有一个很常用的思路是作差构造新函数，转而求新函数的最值或最值的极限大于小于\(0\)；②还有一个常用思路是连求两次导数，用二阶导的正负先判断一阶导的增减，再利用一阶导的增减在端点处的值再判断一阶导的正负，从而知道原函数的增减性。

八、用不等式性质判断导函数正负

例8【2019高三理科数学二轮复习用题】若存在\(x_0\in [e，e^2]\)，满足\(\cfrac{x}{lnx}-ax\leq \cfrac{1}{4}\)，求实数\(a\)的取值范围；

分析：由于\(x>0\)，分离参数得到，\(a\ge \cfrac{1}{lnx}-\cfrac{1}{4x}=g(x)\)，需要求函数\(g(x)_{min}\)，

\(g'(x)=\cfrac{-\cfrac{1}{x}}{(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=-\cfrac{1}{x(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=\cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2\cdot (lnx)^2}\)

接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，

由于\(x\in [e，e^2]\)，则\(-4x\in [-4e^2，-4e]\)，又\(lnx\in [1，2]\)，\((lnx)^2\in [1，4]\)，

则必有\(-4x+(lnx)^2<0\)，即\(g'(x)<0\)，故\(g(x)\)在区间\([e，e^2]\)上单调递减，

故\(g(x)_{min}=g(e^2)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}\)，故\(a\in [\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}，+\infty)\)。

说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；

九、关联题型

①依托函数的单调性，求函数的极值类型；或已知极值点，求参数的取值范围问题；

例21【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\(f(x)=x-alnx\)，\(a\in R\)，

(1).当\(a=2\)时，求函数\(f(x)\)在点\((1，f(1))\)处的切线方程；

分析：当\(a=2\)时，\(f(x)=x-2lnx\)，\(f'(x)=1-\cfrac{2}{x}\)，\(f'(1)=-1\)，故函数\(f(x)\)在点\((1，f(1))\)处的切线方程为\(y-1=-(x-1)\)，即\(x+y-2=0\)。

(2).记函数\(g(x)=f(x)-\cfrac{a-1}{x}\)，若当\(x=1\)时，函数\(g(x)\)有极大值，求\(a\)的取值范围；

分析：\(g(x)=x-alnx-\cfrac{a-1}{x}\)，定义域为\((0，+\infty)\)，

则\(g'(x)=1-\cfrac{a}{x}+\cfrac{a-1}{x^2}=\cfrac{x^2-ax+(a-1)}{x^2}=\cfrac{(x-1)[x-(a-1)]}{x^2}\)

令\(g'(x)=0\)，则\(x_1=1\)，\(x_2=a-1\)，以下针对\(a-1\)与\(1\)的关系以及定义域分类讨论如下，

①当\(a-1\leq 0\)时，即\(a\leq 1\)时，

当\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

故\(x=1\)不是函数\(g(x)\)的极大值点，不合题意；

②当\(0<a-1<1\)时，即\(1<a<2\)时，

当\(x\in (0，a-1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，当\(x\in (a-1，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，故\(x=1\)不是为函数\(g(x)\)的极大值点，不合题意；

③当\(a-1=1\)时，即\(a=2\)时，\(g'(x)\ge 0\)恒成立，故\(x=1\)不是函数\(g(x)\)的极值点，不合题意；

④当\(a-1>1\)时，即\(a>2\)时，

当\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，当\(x\in (1，a-1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (a-1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，故\(x=1\)为函数\(g(x)\)的极大值点，满足题意；

综上所述，当\(a>2\)时，\(x=1\)为函数\(g(x)\)的极大值点，即所求的\(a\)的取值范围是\((2，+\infty)\).
②依托函数的单调性，求函数的最值类型；

例1【2019高三理科数学二轮复习用题】【2018宁夏银川一中一模】

已知函数\(f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x\)，

(1).若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；

分析：由\(f'(1)=0\)，求得\(a=-1\)，经验证\(a=-1\)满足题意。

注意：必须要验证，使得\(f'(x_0)=0\)的\(x_0\)不见得就是极值点(变号零点)，还有不变号零点；

(2).求函数\(y=f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上的最大值；

分析：由题目可知，定义域为限定定义域\([a^2，a]\)，且由其可知\(a^2-a<0\)，解得参数\(a\in (0，1)\)；

求导，\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-2ax+(a-2)x+1}{x}=-\cfrac{(2x-1)(ax+1)}{x}\)，做出其导函数的分子图像可知，分类讨论如下：

说明，区间\([a^2，a]\)是区间长度变化的区间，用其和\(\cfrac{1}{2}\)的位置关系分三类讨论如下，

①当\(0<a\leq \cfrac{1}{2}\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上单调递增，故\(f(x)_{max}=f(a)=lna-a^3+a^2-2a\)；

②当\(a^2\ge \cfrac{1}{2}\)且\(a<1\)时，即\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上单调递减，故\(f(x)_{max}=f(a^2)=2lna-a^5+a^3-2a^2\)；

③当\(\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)时，\(f(x)\)在区间\([a^2，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，在区间\([\cfrac{1}{2}，a]\)上单调递减，故\(f(x)_{max}=f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{a}{4}-1-ln2\)；

综上所述：\(y=f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上的最大值为\(f(x)_{max}=F(a)\)

\(F(a)=\left\{\begin{array}{l}{lna-a^3+a^2-2a，0<a\leq \cfrac{1}{2}}\\{\cfrac{a}{4}-1-ln2，\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\{2lna-a^5+a^3-2a^2，\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1}\end{array}\right.\)

解后反思：1、参数的范围的给出方式要引起注意；2、分类讨论的标准(\(\cfrac{1}{2}\)和区间\([a^2，a]\)的位置关系分为三类；)和技巧(先两边后中间，先简单后复杂)；

③能转化为求最值的恒成立和能成立类型，或能转化为值域的类型，如上述例5-2.

④函数有几个零点问题，转化为\(a=f(x)\)图像有几个交点问题，要画函数\(f(x)\)图像需要用到导数求单调性；

⑤方程有几个根的问题；

⑥两个函数图像有几个交点的问题；

⑦