线性相关、基、维数

知识概要

从线性相关或线性无关的特征入手，介绍空间的的几个重要概念：基、维数

线性无关与线性相关

（1）背景知识：

谈论的概念都是基于向量组的，而不是基于矩阵。线性无关，线性相关是向量组内的关系，基也是一个向量组，不要与矩阵概念混淆。

首先从之前学习的 Ax = 0 方程谈起。

假设 m*n 的矩阵 A：

显然，n > m，以这样的矩阵 A 构成的方程 Ax = 0，此时未知数? ? 的个数比方程的个数多。未知数一共 n 个，方程一共 m 个。

所以此时 A 的零空间中除零向量以外还有其他向量，原因是这样的 A 一定有自由变量(至少有 n-m 个自由变量)，这就造成了零空间中向量的无穷解。

（2）线性无关与线性相关

（3）零空间的作用

假设现有一 m*n 矩阵 A：

·如果 A 各列向量构成的向量组是线性无关的，那么矩阵 A 的零空间中只有零向量。

·如果 A 各列向量构成的向量组是线性相关的，那么矩阵 A 零空间中除零向量之外还一定有其他向量。

很好理解上面零空间角度的定义。因为零空间反映的就是 A 各列向量的线性组合。

从秩的角度看来：

·线性无关对应向量组构成的矩阵，秩为 n，此时没有自由变量，零空间中只有零向量存在。

·线性相关对应向量组构成的矩阵，秩小于 n，有 n-r 个自由变量，零空间中有很多向量。

（4）生成空间

基

维数

理解维数也很简单，像我们的三维空间，其基一定是三个三维向量（三个向量，每个向量有三个分量），四维空间的基也一定是四个四维向量。

总结

（2）找出A列空间的一个基

从 A 的结构看来：

列空间的维数，那么在这个列空间中随便找两个线性无关的向量，它们就可以构成一组基，这组基就可以生成这个列空间。

（3)A对应零空间的维数为多少？

感悟

线性相关/无关，基，维数。这一节这几个概念都是用来描述空间的，了解这几个概念之后，我们便将矩阵的秩，矩阵的自由变量等概念与空间的维数，基，线性相关/无关的判定联系起来。

09线性相关、基、维数相关推荐

线性代数（五）向量空间——向量空间的基维数内积基的规范正交化
本节主要知识点 1.向量空间的定义:对加法和乘法运算封闭的非空的n维向量的集合 2.向量空间的基:向量空间中一组线性无关的向量,并且其他向量可以用这组向量线性表示.一组基中含有的向量个数为向量空间的维 ...
线代[2]｜对极易混淆概念的梳理—线性相关与线性无关、极大线性无关部分组与秩与基础解系、向量空间的基与维数
原创首发于CSDN,转载请注明出处(CSDN:古希腊的汉密士),谢谢! 文章目录一般形式的线性方程组线性相关与线性无关线性极大无关部分组与秩与基础解系 |齐次线性方程组的解向量空间的基与维数 ...
数学 - 线性代数导论 - #10 线性相关性、向量空间的基和维数
线性代数导论 - #10 线性相关性.向量空间的基和维数这节课中,我们先讲了前面的课程中一直提及的线性相关性的具体定义,并以此为基础建立了向量空间的"基"和"维数&qu ...
线性代数(七) : 子空间的基与维数
线性空间中基的概念很重要,比如一个子空间中的任意一个向量都可用一组基唯一的表示.有些问题可以通过寻找一组合适的基而大大化简: 1空间的基直接给出定义: 如果线性空间X中的有限个向量张成X并且本身线性 ...
（邱维声）高等代数课程笔记：基，维数与坐标
3.5 基,维数与坐标 \quad 本节,继续研究线性空间的结构.一般地,设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间. \quad 首先,我们先将"线性相关"与" ...
【矩阵论】02——线性空间——基、维数与坐标
本系列文章由Titus_1996 原创,转载请注明出处. 文章链接:https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/82835889 本系列文章使 ...
矩阵论 - 9 - 线性无关、基、维数
线性无关.基.维数线性无关 Independence 假定有 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\) ,以列向量形式表示:\(\begin{bmatrix}v_1 & v_2 &am ...
数学-线性代数3(相关性、基、维数、四个基本子空间)
目录: 九.线性相关性.基.维数 1.线性无关与线性相关 1)背景知识 2)线性无关与线性相关 3)零空间的作用 4)生成空间 2.基 3.维数 4.总结 ---------------- ...
matlab求向量空间的基,线性空间维数与基的求法.doc
线性空间维数与基的求法,求子空间的基和维数,线性空间的维数,线性空间维数,向量空间的基与维数,什么叫线性的维数和秩,matlab求矩阵的维数,matlab求矩阵维数,基和维数,cao法求嵌入维数线性 ...
线性代数学习笔记2-2：向量空间、子空间、最大无关组、基、秩与空间维数
向量空间向量空间就是一些向量的集合,并且满足:向量空间对于这些向量的线性组合封闭(任意向量间的加法.数乘,得到的向量仍属于这个向量空间) 具体来说,向量空间中的元素(向量)的加法和数乘满足8条公理 ...

09线性相关、基、维数

线性相关、基、维数

知识概要

线性无关与线性相关

基

维数

总结

感悟

09线性相关、基、维数相关推荐

最新文章

热门文章