【矩阵论】02——线性空间——基、维数与坐标
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本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。
基的定义
在线性空间V中，若存在n个元素
α1，α2，......，αn
满足：
α1，α2，......，αn线性无关
V中任意元素α都可用α1，α2，......，αn线性表示。
那么，α1，α2，......，αn就称为线性空间的一组基，n称为线性空间V的维数。
其实线性空间的基，就是求V的极大无关组。其不是唯一的。因此，求基的步骤为：
求一组线性无关的向量组
证明此无关组是极大的，也就是可以线性表示V中任意一个元素。
定理
n维线性空间中，任意n个线性无关的向量构成的向量组，都是空间的基。
坐标的定义
在线性空间Vn(F)中，设{α1，α2，......，αn}是一组基，β为V中的一个元素，{α1，α2，......，αn，β}线性相关，故β可由α1，α2，......，αn唯一线性表示，因此有
则称数x1,x2,......,xn是β在基{α1，α2，......，αn}下的坐标
注意
不论Vn(F)为什么具体的线性空间，只要取定了一组基，Vn(F)中向量在该基下的坐标都是线性空间Fn中的向量。由于这一特点，可以用数量矩阵和Rn中的向量来研究一般的线性空间中有关问题的基础。
一般同一向量在不同基下的坐标是不同的。
同构（详细了解）
加法保持不变，数乘保持不变。
坐标关系建立了Vn(F)和Fn的一一对应关系σ。σ满足
由此，我们可以得出映射关系
（Vn,F,+,。）→（Fn,F,+,.）
线性空间→数域
数域F上，任意一个n维线性空间Vn(F)都和n维线性空间Fn同构。
这种同构关系给人们解决未知空间的问题提出了思想方法，可以利用已知的去推出未知。要做的事就是，人们期望的坐标确定了，是已知的，那么要取得什么样的坐标呢？这就要找到映射关系σ。有以下定理：
基于Vn(F)和Fn这种一一对应的关系保持线性关系不变，如果不计较向量的具体形式，仅就线性关系而言，Vn(F）中的问题就可以转到熟悉的方法和已经建立的理论来解决了。
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