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线性空间维数与基的求法

王康

(吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁，032200)

摘要：线性空间作为高等代数中的一个重要概念，而线性空间的维数与基又是线性空间的一个基本属性，是我们认识线性空间的一个重要信息，二者必须深入理解。本文从数域对线性空间的各个方面的影响说明来它所起的作用，在此基础上探讨了求维数与基的一般方法和步骤。

关键词：线性空间；数域；概念；维数与基的求法

The Methods of the Radix and Extent Solving

Wang Kang

(The Math and Science Department of Lvliang College Fen Yang Teacher's school，ShanXi LvLiang，032200)

Abstract: The linear space is an important concept of Advanced Algebra,the Radix and Extent is a basic attributes of Advanced Algebra. It is a important information to understand the linear space, They must understand. This paper,from the influence of all aspects,explain the role of number field to linear space,and then discusses the methods and steps of the Radix and Extent solving.

Key words：Linear space；Number field；Concept；The methods of the Radix and Extent solving

维数与基是线性空间的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后线性空间上任意向量的坐标(即元数组)也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意维线性空间都与同构，这样，我们可以通过的性质来研究任意线性空间的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

数域上的线性空间——数域的作用和角色

凡是涉及数与空间中向量(取自集合中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域的。同一线性空间指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域对线性空间的线性变换判别的影响

例1：把复数域看作复数域上的线性空间，

解：举反例如下，系数取自复数域，

，而，显然，故变换不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，

解：系数取自实数域，，

，容易验证也保持向量的加法，故是线性的。

可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。

2.数域对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响

文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式中的是取自线性空间所依赖的数域的，也就是说线性空间的线性变换特征值的求解范围数域。进而，根据同一线性变换在不同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候，也就会产生不同的结果。

例3：线性变换在某一组基下的矩阵为，易知它的特征多项式是，那么它在实数域和复数域上的解的情况是不一样的，在实数域上的特征值为，而在复数域上的特征值为。所以，矩阵在实数域上是无法相似于一个对角矩阵的，而在复数域上可以。

3. 数域对一向量组线性相关性判别的影响

一般我们判定一组向量的线性相关性，是根据向量方程

的系数是否是全为零来判定的。而应该是在某一个特定数域内来求解的。比如在维数确定的问题上，我们通常的做法是这样的：先取一个非零向量，在此基础上再添加非零向量进行扩充，然后判断所得向量组是否线性无关，进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。

例4：分别在复数域上和实数域上考虑，任意两个非零复数和的线性相关性，当然这里的数组与是不能对应成比例的

解：在复数域上求解向量方程，可以取，

，所以在复数域上两个非零复数和是线性相关的。

而在实数域上求解的